Matematika

Soal dan Jawaban UAS Analisis Kompleks

Posted in Analisis Kompleks, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Januari 29, 2010

Soal

  1. Hitunglah integral kompleks \int_{C}[( 3x+y) +(3y-x)i]\, dz jika C adalah: a) kurva y=x^2 dari (1,1) sampai (3,9), (b). garis lurus dari (1,1) sampai (1,9) dilanjutkan dengan garis lurus dari (1,9) sampai (3,9)
  2. Hitunglah integral kompleks \oint_{\left \vert z \right \vert=2}{z^2e^{2z}}\, dz
  3. Tuliskan teorema Green di bidang kompleks
  4. Hitunglah integral kompleks \oint_{C}{z^2e^{2z}}\, dz jika C adalah persegi dengan titik-titik sudut 0, 1, 1+i, i
  5. Hitunglah: (a) \oint_{\left \vert z \right \vert =1}\frac{\sin {2z}} {z-\frac{\pi}{4}} \, dz , (b) \oint_{C}\frac{\cos \pi z}{z^{2}-1} \, dz   jika C adalah persegi panjang dengan titik-titik sudut 2\pm i, -2\pm i , dan (c). \oint_{C} \frac{2z+3}{z^{2}+3z-18} \, dz jika C adalah kurva dengan persamaan \left \vert z-4 \right \vert + \left \vert z+4 \right \vert =10 .

Jawaban

  1. (a) \int_{C}[( 3x+y) +(3y-x)i] \, dz= \int_1^3{(3x+y)} \, dx - \int_1^9{(3y-x)} \, dy+ [\int_1^3{(3y-x)} \, dx+ \int_1^9{(3x+y)} \, dy]i . Selanjutnya kita hitung suku-suku ruas kanan satu persatu. sukus pertama, \int_1^3{(3x+y)} \, dx= \int_1^3{(3x+x^2)} \, dx . suku kedua \int_1^9{(3y-x)} \, dy= \int_1^9{(3y- \sqrt{y})} \, dy . Suku ketiga, \int_1^3{(3y-x)} \, dx= \int_1^3{(3x^{2}-x)} \, dx . Suku keempat, \int_1^9{(3x+y)} \, dy= \int_1^9{(3 \sqrt{y}+y)} \, dy . Tinggal dihitung satu persatu seperti integral pada kalkulus 2, maka akan didapatkan -82 + 114i . Jadi, \int_{C}[( 3x+y) +(3y-x)i] \, dz= -82+114i . (b) Perhatikan bahwa f(x)=( 3x+y) +(3y-x)i analitik (buktikan!). Menurut akibat teorema Cauchy-Goursat, maka nilai integral tidak bergantung pada lintasan. Karena pangkal dan ujung lintasan sama seperti pada bagian (a), maka hasilnya juga sama, yaitu -82+114i .
  2. Fungsi f(z)=z^{2}e^{2z} analitik karena merupakan perkalian fungsi polinom dan eksponensial yang keduanya merupakan fungsi-fungsi analitik. Lintasannya adalah lingkaran berpusat di 0 dan berjari-jari 2, sehingga merupakan lintasan tertutup. Menggunakan teorema Cauchy-Goursat, maka diperoleh \int_{\left \vert z \right \vert=2}z^{2}e^{2z} \, dz=0 .
  3. Baca saja di buku!
  4. Perhatikan bahwa f(z)=e^{-x}e^{-yi}=e^{-(x+yi)}=e^{-z} , sehingga analitik. Lintasannya adalah persegi sehingga merupakan lintasan tertutup. Menggunakan teorema Cauchy-Goursat, maka diperoleh \int_{C}e^{-x}e^{-yi} \, dz=0 .
  5. Gunakan Rumus integral Cauchy
  • Karena \frac{\pi}{4} terletak di dalam \left \vert z \right \vert=1 maka \oint_{\left \vert z \right \vert=1} \frac{\sin {2z}}{z-\frac{\pi}{4}} \,dz= 2\pi i.\sin {2 \frac{\pi}{4}}= 2 \pi i .
  • Pernah dibahas, dan hasilnya \oint_{C}{\frac{\cos \pi{z}}{z^{2}-1} }\, dz= 0 .
  • Perhatikan bahwa \oint_{C}\frac{2z+3}{z^{2}+3z-18} \, dz= \oint_{C}\frac{1}{z-3} \, dz+ \oint_{C}\frac{1}{z+6} \, dz . Lintasannya adalah \left \vert z-4 \right \vert + \left \vert z+4 \right \vert=10 yang dapat diubah menjadi \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1 (lihat gambar di bawah!) Titik z=3 terletak di dalam, sedangkan z=-6 terletak di luar lintasan tertutup. Jadi, \oint_{C}\frac{2z+3}{z^{2}+3z-18} \, dz= 2\pi i.f (3) +0=2\pi i. 1=2\pi i .

About these ads
Tagged with: , ,

4 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. harmain said, on Mei 6, 2010 at 11:49 am

    kenapa ndk ad pembahasan bilangan imajinerx

  2. Anwar Mutaqin said, on Mei 11, 2010 at 5:05 am

    sudah lewat, itu kan bab awal

  3. rofirohmath said, on Oktober 30, 2010 at 7:44 am

    kebetulan sekali saya mencari soal soal ankom minggu depan mau kuis dosenya pa syamsuri :)

  4. Devi said, on Januari 7, 2014 at 1:00 am

    Terima kasih, sangat membantu ^_^


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: