Matematika

Jawaban UAS Analisis Real

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Februari 1, 2010

Soal UAS Analisis Real lihat di bawah

View this document on Scribd

Jawaban

Soal 1

(a). Contoh barisan konvergen yang tidak monoton: x_n=(-1)^n \frac{1}{n} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(b). Contoh barisan yang konvergen dan monoton naik: a_n= \frac{n}{n+1} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(c). Contoh barisan yang konvergen dan tidak terbatas, tidak ada.

Soal 2

Akan ditunjukkan 1\leq x_n<x_{n+1}<3 .

Untuk n=1 , pernyataan tersebut benar. Misalkan pernyataan benar untuk n=k , yaitu

1 \leq x_k< x_{k+1}< 3   \cdots (#),

akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n=k+1 .

Perhatikan semua ruas (#) dikalikan 3, maka

3\leq 3x_k<3x_{k+1}<9 .

Kemudian semua ruas ditarik akarkuadratnya, maka

\sqrt{3}\leq \sqrt{3x_k}< \sqrt{3x_{k+1}}<3 ,

atau menjadi

1< \sqrt{3} \leq x_{k+1}<x_{k+2}<3 .

Hal ini berarti barisan x_n monoton naik dan terbatas, oleh karena itu x_n konvergen. Misal \lim x_n=x , maka

\lim x_{n+1}=\sqrt{\lim x_n}

x^2=x

sehingga x=0 atau x=3. Karena 1 \leq x_n <3 , maka \lim x_n=3 .

Soal 3

Ambil \epsilon >0 sebarang. Pilih N(\epsilon)> \frac{15}{2 \epsilon}, sehingga jika m,n \geq N(\epsilon) , maka berlaku

\vert \frac{3n}{2n+5}- \frac{3m}{2m+5} \vert < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa barisan x_n= \frac{3n}{2n+5} adalah barisan Cauchy.

Soal 4

Perhatikan bahwa

x_n= \sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1}= \frac{2n}{\sqrt{4n+1}+ \sqrt{2n+1}}

Pilih y_n= \sqrt{n} , maka

\lim \frac{x_n}{y_n}= \lim \frac{2n}{\sqrt{4n^{2}+n}+ \sqrt{2n^{2}+n}}= \frac{2}{2+ \sqrt{2}}>0 .

Berdasarkan teorema 3.6.5 di hal 108 buku Bartle, maka \lim (\sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1})=\infty .

Soal 5

Perhatikan bahwa

\vert \frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2} \vert = \frac{|2x-1|}{2|x+1|}|x-1|

Kita batasi \vert x-1 \vert < 1 , maka \vert 2x-1 \vert < 3 dan \vert 2(x+1) \vert >2 . Oleh karena itu,

\frac{|2x-1|}{2|x+1|}< \frac{3}{2} .

Bukti formal, ambil \epsilon>0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{2 \epsilon}{3} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-1|< \delta , maka

|\frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2}|< \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x+1}{x+1}= \frac{1}{2} .

Soal 6

Ambil \epsilon >0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{\epsilon}{19} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-2|< \delta , maka

|x^{3}-8|= |x^{2}+2x+4||x-2|<19 \delta < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 2} x^{3}=8 .

Dua soal terakhir menyusul.

About these ads
Tagged with:

2 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. msihabudin said, on Oktober 10, 2011 at 7:48 pm

    pertamax// . thanks.. .. bisa buat belajar

  2. Aufaa Islahiyah said, on Januari 15, 2012 at 2:33 am

    Asslm….
    pak, soal UAS AnReal tahun ni ga jauh dr soal diatas kan???
    he…….
    thanks,,,,,,,,,,,


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: