Matematika

Himpunan Kosong

Posted in Pembelajaran Matematika Sekolah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 12, 2010

Himpunan kosong sebenarnya merupakan istilah yang ‘terlihat’ kontradiksi dengan pengertian himpunan itu sendiri. Kita tahu himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas. Dalam pengertian itu ada dua istilah yang penting yaitu kumpulan objek dan terdefinisi dengan jelas. Maksud terdefinisi dengan jelas adalah setiap orang yang berakal memiliki persepsi yang sama tentang keanggotaan himpunan. Misalnya, hewan berkaki empat, bilangan prima, bilangan genap, adalah konsep-konsep yang dipersepsi sama oleh setiap orang. Berlainan dengan hal tersebut adalah kriteria cantik yang akan dipersepsi berebda-beda dengan setiap orang karena tidak ada ukuran yang objektif.

Istilah yang kedua adalah kumpulan objek. Hal ini berarti harus ada objek untuk dikatakan sebagai himpunan. Di sinilah letak kontradiksi himpunan kosong yang saya maksud. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, padahal definisi himpunan mensyaratkan adanya objek (anggota). Namun demikian, himpunan kosong tetap disertakan dalam pembahasan himpunan. Jika ditilik lebih lanjut, eksistensi himpunan kosong sebenarnya merupakan konsekuensi logika yang digunakan dalam matematika.

Himpunan kosong memiliki sifat-sifat yang ‘istimewa’, yang ada karena konsekuensi logika. Sifat istimewa tersebut tersebut adalah sebagai berikut:

  • Himpunan Kosong adalah subset dari sebarang himpunan
  • Berkaitan dengan sifat kelengkapan himpunan bilangan real, batas atas himpunan kosong adalah seluruh bilangan real. Demikian pula dengan batas bawahnya.
  • Dalam Topologi, himpunan Kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup

Mengapa himpunan kosong subset dari sebarang himpunan? Perhatikan kembali definisi subset berikut

A \subseteq B jika setiap anggota A merupakan anggota B. Dengan kata lain, A \subseteq B jika x \in A , maka x \in B .

Jika A kita ganti \varnothing , maka pernyataan x \in \varnothing benilai salah, sehingga apa pun nilai pernyataan x \in B , maka pernyataan “jika x \in A , maka x \in B ” bernilai benar. Akibatnya himpunan kosong adalah subset dari sebarang himpunan. Cara yang kedua adalah dengan melihat kontraposisi pernyataan “jika x \in A , maka x \in B “.

Selanjutnya, batas atas dan batas bawah himpunan kosong adalah seluruh bilangan real. Argumennya serupa dengan argumen di atas. Sedangkan, himpunan kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup berasal dari definisi topologi yang mengharuskan adanya himpunan kosong dan himpunan semestanya.

4 Tanggapan

Berlangganan komentar dengan RSS.

  1. jainal said, on Oktober 19, 2013 at 4:21 pm

    Assalamu’alaikum wr. wb.
    pa mau nanya nih? apakah himpunan kosong merupakan himpunan buka, himpunan tutup, himpunan buka sekaligus tutup atau bukan himpunan buka dan tutup. mohon penjelasannya dari Bapak?
    syukron
    wassalamu’alaikum wr. wb.

    • Anwar Mutaqin said, on Oktober 24, 2013 at 1:54 pm

      Waalaikum salam wr wb.
      Himpunan kosong merupakan himpunan buka dan sekaligus himpunan tutup. Karena tidak punya anggota, maka semua syarat terpenuhi.
      Di topologi, Sekumpulan subset H (sebut aja tao) disebut topologi jika di dalamnya ada himp kosong dan H sndr (ada bbrp syarat lainnya). Anggota tao itu disebut himpunan buka, dan himp kosong ada di situ, makanya disebut himp buka. Nah, suatu himp disebut himp tutup jika komplemennya anggota tao. Komplemen himp kosong adalah H sndr dan ada di tao, makanya himp kosong jg tutup.

  2. Ahmad Fuad said, on Desember 18, 2013 at 10:59 am

    Pak, yang dimaksud dengan “himpunan kosong itu tunggal” gmna ya pak?
    trus pembuktiannya it jga bgaimana,,, -_- bingung….


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: