Matematika

Ketaksamaan Cauchy dan Rumus Korelasi

Ditulis dalam Analisis Real oleh Anwar Mutaqin pada Desember 27, 2010

Misalkan kita mempunyai dua buah vektor, yaitu {\bf x} =\left ( x_1, x_2, \cdots, x_n \right ) dan {\bf y} =\left ( y_1, y_2, \cdots, y_n \right ) , maka sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah

\cos\theta= \frac{\bf x.\bf y}{\|x\|.\|y\|}

dengan \bf x.\bf y= \sum \limits_{i=1}^{n} x_iy_i (perkalian titik dari dua buah vektor) dan \|x\|= \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2}   (panjang vektor).

Rumus tersebut didapat dari aturan cosinus seperti yang dipelajari waktu SMA

\|\bf x+ \bf y\|^2=\|\bf x \|^2 + \|\bf y \|^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\sum \limits_{i=1}^{n}\left (x_i + y_i \right )^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2 \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} = \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\bf x.\bf y = \|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta .

Kita juga mengetahui bahwa |\cos\theta| \leq 1 , sehingga

\frac{| \bf x.\bf y |}{\|x\|.\|y\|} \leq 1 ,

atau bisa ditulis | \bf x.\bf y | \leq \|x\|.\|y\| . Ketaksamaan terakhir ini disebut ketaksamaan Cauchy.

Ahli statistika menggunakan rumus sudut yang dibentuk dua vektor tersebut untuk mencari korelasi dua buah data. Data yang dikumpulkan dianggap sebagai vektor. Jika pengamatan dilakukan terhadap 40 orang, maka data yang terbentuk adalah vektor berdimensi 40. Namun dulu saya bingung mengapa rumus nya bukan

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} x_iy_i}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}}x_i^2 \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}}y_i^2} ?

tetapi

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right ) \left (y_i- \bar y \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (y_i- \bar y \right )^2}} .

Setelah ditelusuri lebih lanjut, ternyata data tersebut dibuat angka baku sebelum dicari korelasinya. Hal ini dilakukan untuk menghilangkan satuan. Jadi setiap datum dikurangi dengan rata-ratanya dan dibagi dengan simpangan baku. Lebih jelasnya datum menjadi

\frac {x_i- \bar x }{\sigma_x} dan \frac {y_i- \bar y }{\sigma_y}

Kemudian untuk mencari korelasi digunakan rumus di atas, yaitu

r =\frac {\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {x_i- \bar x}{\sigma_x} \right ) \left ( \frac {y_i- \bar y}{\sigma_y} \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {x_i- \bar x}{\sigma_x} \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {y_i- \bar y}{\sigma_y} \right )^2}}

Disederhanakan menjadi

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right ) \left (y_i- \bar y \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (y_i- \bar y \right )^2}}

Dari sini jelaslah bahwa -1 \leq r \leq 1 . Rumus korelasi di atas berlaku untuk data yang berbentuk interval atau rasio.

Ditandai sebagai:,

5 komentar

5 Tanggapan

Berlangganan komentar dengan RSS.

  1. widy berkata, pada April 6, 2011 pada 5:16 am

    kang, boleh minta handout analisis kompleksnya g? ? ?
    mau ikud olimpiade neh

    Balas
  2. widy berkata, pada April 6, 2011 pada 5:17 am

    kang, boleh minta handout analisis kompleksnya g? ? ?
    mau ikud olimpiade neh
    bles ya
    bleh kirim d email

    Balas
  3. anwar mutaqin berkata, pada April 8, 2011 pada 1:09 pm

    kirim aja alamat emailnya ke email saya (warmt96@yahoo.co.id), nnt saya kasih buku2 kompleks.

    Balas
  4. budimathbadai berkata, pada Agustus 11, 2011 pada 1:54 am

    mas…iki diriku loh..budi from medan…arek minta buku2 analisis kompleks…susah banget yo mas matkul ini…plez donk mas krm ke email sy…gratis kan mas……plez yo mas…(budi.mathbadai@gmail.com)

    Balas

Tinggalkan Balasan

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out / Ubah )

Batal

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.