Matematika

Soal dan Jawaban UAS Analisis Kompleks

Posted in Analisis Kompleks, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Januari 29, 2010

Soal

  1. Hitunglah integral kompleks \int_{C}[( 3x+y) +(3y-x)i]\, dz jika C adalah: a) kurva y=x^2 dari (1,1) sampai (3,9), (b). garis lurus dari (1,1) sampai (1,9) dilanjutkan dengan garis lurus dari (1,9) sampai (3,9)
  2. Hitunglah integral kompleks \oint_{\left \vert z \right \vert=2}{z^2e^{2z}}\, dz
  3. Tuliskan teorema Green di bidang kompleks
  4. Hitunglah integral kompleks \oint_{C}{z^2e^{2z}}\, dz jika C adalah persegi dengan titik-titik sudut 0, 1, 1+i, i
  5. Hitunglah: (a) \oint_{\left \vert z \right \vert =1}\frac{\sin {2z}} {z-\frac{\pi}{4}} \, dz , (b) \oint_{C}\frac{\cos \pi z}{z^{2}-1} \, dz   jika C adalah persegi panjang dengan titik-titik sudut 2\pm i, -2\pm i , dan (c). \oint_{C} \frac{2z+3}{z^{2}+3z-18} \, dz jika C adalah kurva dengan persamaan \left \vert z-4 \right \vert + \left \vert z+4 \right \vert =10 .

Jawaban

  1. (a) \int_{C}[( 3x+y) +(3y-x)i] \, dz= \int_1^3{(3x+y)} \, dx - \int_1^9{(3y-x)} \, dy+ [\int_1^3{(3y-x)} \, dx+ \int_1^9{(3x+y)} \, dy]i . Selanjutnya kita hitung suku-suku ruas kanan satu persatu. sukus pertama, \int_1^3{(3x+y)} \, dx= \int_1^3{(3x+x^2)} \, dx . suku kedua \int_1^9{(3y-x)} \, dy= \int_1^9{(3y- \sqrt{y})} \, dy . Suku ketiga, \int_1^3{(3y-x)} \, dx= \int_1^3{(3x^{2}-x)} \, dx . Suku keempat, \int_1^9{(3x+y)} \, dy= \int_1^9{(3 \sqrt{y}+y)} \, dy . Tinggal dihitung satu persatu seperti integral pada kalkulus 2, maka akan didapatkan -82 + 114i . Jadi, \int_{C}[( 3x+y) +(3y-x)i] \, dz= -82+114i . (b) Perhatikan bahwa f(x)=( 3x+y) +(3y-x)i analitik (buktikan!). Menurut akibat teorema Cauchy-Goursat, maka nilai integral tidak bergantung pada lintasan. Karena pangkal dan ujung lintasan sama seperti pada bagian (a), maka hasilnya juga sama, yaitu -82+114i .
  2. Fungsi f(z)=z^{2}e^{2z} analitik karena merupakan perkalian fungsi polinom dan eksponensial yang keduanya merupakan fungsi-fungsi analitik. Lintasannya adalah lingkaran berpusat di 0 dan berjari-jari 2, sehingga merupakan lintasan tertutup. Menggunakan teorema Cauchy-Goursat, maka diperoleh \int_{\left \vert z \right \vert=2}z^{2}e^{2z} \, dz=0 .
  3. Baca saja di buku!
  4. Perhatikan bahwa f(z)=e^{-x}e^{-yi}=e^{-(x+yi)}=e^{-z} , sehingga analitik. Lintasannya adalah persegi sehingga merupakan lintasan tertutup. Menggunakan teorema Cauchy-Goursat, maka diperoleh \int_{C}e^{-x}e^{-yi} \, dz=0 .
  5. Gunakan Rumus integral Cauchy
  • Karena \frac{\pi}{4} terletak di dalam \left \vert z \right \vert=1 maka \oint_{\left \vert z \right \vert=1} \frac{\sin {2z}}{z-\frac{\pi}{4}} \,dz= 2\pi i.\sin {2 \frac{\pi}{4}}= 2 \pi i .
  • Pernah dibahas, dan hasilnya \oint_{C}{\frac{\cos \pi{z}}{z^{2}-1} }\, dz= 0 .
  • Perhatikan bahwa \oint_{C}\frac{2z+3}{z^{2}+3z-18} \, dz= \oint_{C}\frac{1}{z-3} \, dz+ \oint_{C}\frac{1}{z+6} \, dz . Lintasannya adalah \left \vert z-4 \right \vert + \left \vert z+4 \right \vert=10 yang dapat diubah menjadi \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1 (lihat gambar di bawah!) Titik z=3 terletak di dalam, sedangkan z=-6 terletak di luar lintasan tertutup. Jadi, \oint_{C}\frac{2z+3}{z^{2}+3z-18} \, dz= 2\pi i.f (3) +0=2\pi i. 1=2\pi i .

Tagged with: , ,

Tugas Analisis Kompleks

Posted in Analisis Kompleks, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Desember 22, 2009

Tugas Hari  selasa 22 Desember 2009 untuk mata kuliah analisis kompleks lihat di bawah!

View this document on Scribd
atau download di tugas kompleks

Tagged with: ,

Pengumuman Lagi

Posted in Analisis Kompleks, Analisis Real by Anwar Mutaqin on November 23, 2009

Perkuliahan Analisis real tanggal 26 November 2009 dan analisis kompleks tanggal 24 November 2009 ditiadakan dan diganti dengan tugas mandiri.

Tugas Analisis kompleks: Rangkum materi tentang lintasan (kurva) dan integral kompleks, sebagai bahan awal bisa download di Integralkompleks. Lengakpi materi tersebut dan berikan contoh-contoh dan juga contoh soal.

Tugas Analisis Real: Rangkum materi tentang subbarisan dan dan barisan Cauchy, kerjakan minimal 3 soal.

Semua tugas dikumpulkan pada perkuliahan berikutnya!

Jawaban soal UTS anreal kelas nonreguler dapat diambil di
jwbutsreal dan kelas reguler di utsanrealreguler, sedangkan jawaban soal UTS analisis kompleks dapat dilihat di soalutskompleks

Selamat belajar dan mengerjakan tugas.

Tagged with: ,

Tugas 2 Analisis Kompleks

Posted in Analisis Kompleks by Anwar Mutaqin on November 3, 2009

Tugas 2 mata kuliah analisis kompleks dapat di downloaddi sini. Selamat bekerja…

Tagged with: ,

Tugas Analisis Kompleks

Posted in Analisis Kompleks, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Oktober 9, 2009

Tugas analisis kompleks I silakan download di sini.
tugas I

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.