Matematika

Sifat Archimides

Posted in Analisis Real by Anwar Mutaqin on November 7, 2012

Salah satu sifat bilangan real yang penting adalah sifat Archimides. Penting karena banyak aplikasinya dalam matematika sendiri, misalnya pada teori ukuran, konstruksi bilangan hyperreal, mencari supremum atau infimum himpunan diskrit, dan lain-lain. Sifat Archimides mengatakan demikian,

Untuk setiap x \in R terdapat n_x \in N sedemikian sehingga n_x > x .

Menurut saya sifat ini agak aneh meskipun mudah dilihat kebenarannya. Tetapi jika dibalik pun rasanya masuk akal, yaitu untuk setiap bilangan asli terdapat bilangan real yang lebih besar dari bilangan asli tersebut. Cuma pernyataan yang terakhir tidak tahu cara membuktikannya.

Bukti Sifat Archimides:

Andaikan pernyataan di atas salah, artinya terdapat  x_0 \in R sedemikian sehingga x_0>n untuk setiap n \in N . Ini berarti x_0 adalah batas atas himpunan N . Karena N terbatas di atas, maka menurut aksioma kelengkapan, himpunan N mempunyai supremum. Misal u = \sup N . Jelas bahwa u-1<u , sehingga menurut definisi batas atas suatu himpunan terdapat m \in N sedemikian sehingga u-1<m , atau m+1>u . Padahal m+1 \in N . Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa u adalah supremum himpunan N .

Salah satu akibat sifat Archimides adalah

Untuk setiap 0 < x \in R terdapat n \in N sedemikian sehingga 0 < \frac{1}{n} < x .

Sifat di atas dapat dipakai untuk membuktikan bahwa \inf \{ \frac{1}{n} : n \in N\} =0 . Caranya begini: Jelas bahwa 0< \frac{1}{n} untuk setiap n \in N . Ini artinya 0 adalah batas bawah himpunan S = \{ \frac{1}{n} : n \in N\} . Dengan demikian, himpunan S dijamin mempunyai infimum. Tidak mungkin u = \inf S < 0 karena 0 adalah batas bawah S. Andaikan u > 0, maka menurut akibat dari sifat Archimides, terdapat n_0 \in N sehingga \frac{1}{n} < u . Ini berarti terdapat anggota S yang lebih kecil dari u. Hal ini bertentangan dengan asumsi u adalah batas bawah (atau infimum) S. Jadi menurut sifat trikotomi haruslah u = \inf S = 0 .

Ketaksamaan Cauchy dan Rumus Korelasi

Posted in Analisis Real by Anwar Mutaqin on Desember 27, 2010

Misalkan kita mempunyai dua buah vektor, yaitu {\bf x} =\left ( x_1, x_2, \cdots, x_n \right ) dan {\bf y} =\left ( y_1, y_2, \cdots, y_n \right ) , maka sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah

\cos\theta= \frac{\bf x.\bf y}{\|x\|.\|y\|}

dengan \bf x.\bf y= \sum \limits_{i=1}^{n} x_iy_i (perkalian titik dari dua buah vektor) dan \|x\|= \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2}   (panjang vektor).

Rumus tersebut didapat dari aturan cosinus seperti yang dipelajari waktu SMA

\|\bf x+ \bf y\|^2=\|\bf x \|^2 + \|\bf y \|^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\sum \limits_{i=1}^{n}\left (x_i + y_i \right )^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2 \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} = \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\bf x.\bf y = \|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta .

Kita juga mengetahui bahwa |\cos\theta| \leq 1 , sehingga

\frac{| \bf x.\bf y |}{\|x\|.\|y\|} \leq 1 ,

atau bisa ditulis | \bf x.\bf y | \leq \|x\|.\|y\| . Ketaksamaan terakhir ini disebut ketaksamaan Cauchy.

Ahli statistika menggunakan rumus sudut yang dibentuk dua vektor tersebut untuk mencari korelasi dua buah data. Data yang dikumpulkan dianggap sebagai vektor. Jika pengamatan dilakukan terhadap 40 orang, maka data yang terbentuk adalah vektor berdimensi 40. Namun dulu saya bingung mengapa rumus nya bukan

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} x_iy_i}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}}x_i^2 \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}}y_i^2} ?

tetapi

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right ) \left (y_i- \bar y \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (y_i- \bar y \right )^2}} .

Setelah ditelusuri lebih lanjut, ternyata data tersebut dibuat angka baku sebelum dicari korelasinya. Hal ini dilakukan untuk menghilangkan satuan. Jadi setiap datum dikurangi dengan rata-ratanya dan dibagi dengan simpangan baku. Lebih jelasnya datum menjadi

\frac {x_i- \bar x }{\sigma_x} dan \frac {y_i- \bar y }{\sigma_y}

Kemudian untuk mencari korelasi digunakan rumus di atas, yaitu

r  =\frac {\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {x_i- \bar x}{\sigma_x} \right ) \left ( \frac {y_i- \bar y}{\sigma_y} \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {x_i- \bar x}{\sigma_x} \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {y_i- \bar y}{\sigma_y} \right )^2}}

Disederhanakan menjadi

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right )  \left (y_i- \bar y \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i-  \bar x \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (y_i- \bar y  \right )^2}}

Dari sini jelaslah bahwa -1 \leq r \leq 1 . Rumus korelasi di atas berlaku untuk data yang berbentuk interval atau rasio.

Ketunggalan o dan 1

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 21, 2010

Kita yang sudah pernah belajar analisis real, kalkulus atau matematika secara umum pasti mengenal dengan baik bahwa 0 adalah identitas pada operasi penjumlahan, sedangkan 1 adalah identitas pada operasi perkalian bilangan. Namun, adakah yang pernah bertanya, apakah hanya 0 yang mempunyai sifat x+0=0? Apakah hanya 1 yang mempunyai sifat x.1=x? Tulisan ini akan menjawab dua pertanyaan tersebut. Ah kelihatannya persoalan sepele. Tapi tidak apa-apalah mudah-mudah bermanfaat atau sekedar senam otak saja.

Menjawab dua pertanyaan di atas ternyata perlu belajar analisis real, setidaknya untuk saya. Pertanyaan ini juga pernah saya tanyakan di ruang kuliah, dan mereka terheran-heran dengan kenyataan bahwa pertanyaan itu harus dijawab dan jawabannya harus dibuktikan pula. Untuk itu harus diingat aksioma bilangan real, bisa dilihat di postingan sebelumnya.

Kita mulai dengan membuktikan bahwa bilangan o adalah tunggal. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja o’, sedemikian sehingga x+o’=x untuk setiap x, dan 0' \neq 0 . Akibatnya 0+0′=0, karena 0′ adalah identitas pada penjumlahan. Tetapi, o+o’=0′ karena 0 juga identitas pada penjumlahan. Hal ini berarti 0′=0+0′=0, atau 0=0′. Ini menunjukkan bahwa o tunggal.

Bukti  bilangan 1 adalah tunggal serupa dengan sebelumnya. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja 1′, sedemikian sehingga x.1′=x untuk setiap x, dan 1' \neq 1 . Akibatnya 1.1′=1, karena 1′ adalah identitas pada perkalian. Tetapi, 1+1′=1′ karena 1 juga identitas pada perkalian. Hal ini berarti 1′=1.1′=1, atau 1=1′. Ini menunjukkan bahwa 1 tunggal.

Dan ternyata jawabannya adalah ya. Hal ini berarti 0 dan 1 bersifat tunggal. Tidak ada bilangan lain yang menyamai 0 dan 1 dalam sifat identitas.

Tagged with: , ,

Tentang 1/0

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 20, 2010

Tulisan ini saya buat karena membaca blog  http://ariaturns.wordpress.com/ -blog yang sering saya kunjungi- dan jawabannya belum tuntas karena hanya menggunakan analogi. Saya akan coba buktikan bahwa \frac{1}{0} tidak ada (atau tidak terdefinisi) dengan bekal analisis real atau kalkulus. Sebagai langkah awal, perhatikan aksioma lapangan bilangan real berikut:

Aksioma Lapangan: Misalkan x,y,z \in R , maka berlaku sifat:

  1. x+y \in R
  2. x+y=y+x
  3. (x+y)+z=x+(y+z)
  4. Terdapat 0 \in R sedemikian sehingga x+0=x untuk setiap x \in R
  5. Untuk setiap x \in R terdapat -x \in R sedemikian sehingga x+(-x)=0 .
  6. xy \in R
  7. xy=yx
  8. (xy)z=x(yz)
  9. Terdapat 1 \in R yang berbeda dengan 0 sedemikian sehingga 1.x=x untuk setiap x \in R
  10. Untuk setiap \neq x \in R terdapat x^{-1} \in R sedemikian sehingga x.x^{-1}=1 .
  11. x(y+z)=xy+xz .

Selanjutnya didefinisikan x-y=x+(-y) dan \frac{x}{y}=xy^{-1} .

Berdasarkan aksioma tersebut, banyak teorema dibuktikan. Untuk keperluan pembuktian 1/0, cukup saya tuliskan sebuah teorema yang buktinya bisa dilihat di buku Introduction to Real Analysis (Robert G. Bartle dan temannya).

Teorema *: x.0=0 untuk setiap x \in R .

Selanjutnya akan dibuktikan \frac{1}{0} tidak ada. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan \frac{1}{0} ada (pengandaian ini sama saja dengan mengandaikan aksioma ke 10 berlaku untuk setiap x \in R ), maka menurut aksioma 10,  \frac{1}{0}.0=1 . Namun, berdasarkan teorema *, \frac{1}{0}.0=0 (berapa pun bilangan real jika dikali nol hasilnya nol). Hal ini berarti 0=1. Jelas kontradiksi dengan aksioma bilangan real yang mengatakan 0 dan 1 berbeda. Ini berarti pengandaian salah, maka haruslah \frac{1}{0} tidak ada.

Demikian cara membuktikan bahwa \frac{1}{0} tidak ada atau tidak terdefinisi. Pembuktian dalam sistem bilangan kompleks saya kira serupa.

Tagged with: ,

Mengapa Harus Belajar Analisis Real?

Posted in Analisis Real, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 5, 2010

Judul di atas tentu saja ditujukan  kepada mahasiswa Program Studi Matematika atau Pendidikan Matematika. Pengalaman saya mengajar (pengantar) analisis real selama 5 tahun menunjukkan bahwa mata kuliah ini paling sulit dimengerti oleh mahasiswa. Berbagai strategi pembelajaran (karena saya mengajar di Prodi Pendidikan Matematika) pernah dicoba tetapi hasilnya tetap tidak memuaskan. Nilainya tetap saja rendah. Hal ini membuat saya berpikir, jangan-jangan cara saya mengajar yang tidak benar. Saya mencoba untuk bertanya juga ke rekan di PT yang lain, dan ternyata sama, hasilya kurang bagus juga.

Kesulitan mahasiswa biasanya adalah; (1) mereka bingung memulai dari mana pada saat disuruh membuktikan, (2) mereka kurang menyadari konsekuensi suatu teorema, (3) memberikan contoh penyangkal (counter example), (4) sering juga ditemui pembuktian terbalik, maksudnya diminta membuktikan jika p maka q, yang dibuktikan malah jika q maka p, (5) kurang memahami algoritma membuktikan menggunakan definisi (misalnya pada barisan dan limit fungsi), (6) manipulasi bentuk aljabar, dan lain-lain.

Di tengah kesulitan belajar dan hasil belajar yang kurang bagus di analisis real, mungkin kita bertanya mengapa kita harus belajar analisis real. Berikut ini beberapa alasan diberikannya mata kuliah analisis real di Program Studi Matematika dan Pendidikan Matematika:

  1. Analisis real (bersama dengan struktur aljabar/aljabar abstrak) merupakan penanda yang membedakan dengan mahasiswa Teknik, Fisika, Computer Science dan lain-lain. Mereka belajar kalkulus, geometri, metode numerik, persamaan diferensial, tetapi mereka tidak mempelajari analisis real.
  2. Matematika sampai saat ini (setidaknya yang diajarkan di sekolah dan Perguruan Tinggi) dibangun berdasarkan sistem aksiomatik. Di dalam sistem aksiomatik diperlukan penalaran dan pembuktian secara deduksi. Analisis real merupakan salah satu mata kuliah yang dapat merepresentasikan hal ini. Di kalkulus mungkin ada pembuktian tetapi tidak terlalu ditekankan karena lebih condong kepada penggunaan teorema dan komputasinya.
  3. Analisis real melatih mahasiswa untuk berpikir terstruktur dan rasional deduktif. Hal ini tercermin dari masalah-masalah yang diajukan yang kebanyakan berisi pembuktian.
  4. Bagi mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika, mereka harus terlatih membuktikan karena kompetensi matematika, baik yang diajukan oleh pemerintah, NCTM, dan lain-lain mensyaratkan kemampuan penalaran dan pembuktian. Sekali lagi, hal ini dilatih di Analisis Real.
  5. Analisis secara umum juga diperlukan pada teori aproksimasi, yang selanjutnya digunakan pada aplikasi matematika.

Demikian beberapa alasan belajar analisis real. Mungkin masih banyak alasan-alasan yang lain.

Tagged with: ,
Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.