Matematika

Jawaban UAS Analisis Real

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Februari 1, 2010

Soal UAS Analisis Real lihat di bawah

Lihat dokumen ini di Scribd

Jawaban

Soal 1

(a). Contoh barisan konvergen yang tidak monoton: x_n=(-1)^n \frac{1}{n} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(b). Contoh barisan yang konvergen dan monoton naik: a_n= \frac{n}{n+1} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(c). Contoh barisan yang konvergen dan tidak terbatas, tidak ada.

Soal 2

Akan ditunjukkan 1\leq x_n<x_{n+1}<3 .

Untuk n=1 , pernyataan tersebut benar. Misalkan pernyataan benar untuk n=k , yaitu

1 \leq x_k< x_{k+1}< 3   \cdots (#),

akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n=k+1 .

Perhatikan semua ruas (#) dikalikan 3, maka

3\leq 3x_k<3x_{k+1}<9 .

Kemudian semua ruas ditarik akarkuadratnya, maka

\sqrt{3}\leq \sqrt{3x_k}< \sqrt{3x_{k+1}}<3 ,

atau menjadi

1< \sqrt{3} \leq x_{k+1}<x_{k+2}<3 .

Hal ini berarti barisan x_n monoton naik dan terbatas, oleh karena itu x_n konvergen. Misal \lim x_n=x , maka

\lim x_{n+1}=\sqrt{\lim x_n}

x^2=x

sehingga x=0 atau x=3. Karena 1 \leq x_n <3 , maka \lim x_n=3 .

Soal 3

Ambil \epsilon >0 sebarang. Pilih N(\epsilon)> \frac{15}{2 \epsilon}, sehingga jika m,n \geq N(\epsilon) , maka berlaku

\vert \frac{3n}{2n+5}- \frac{3m}{2m+5} \vert < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa barisan x_n= \frac{3n}{2n+5} adalah barisan Cauchy.

Soal 4

Perhatikan bahwa

x_n= \sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1}= \frac{2n}{\sqrt{4n+1}+ \sqrt{2n+1}}

Pilih y_n= \sqrt{n} , maka

\lim \frac{x_n}{y_n}= \lim \frac{2n}{\sqrt{4n^{2}+n}+ \sqrt{2n^{2}+n}}= \frac{2}{2+ \sqrt{2}}>0 .

Berdasarkan teorema 3.6.5 di hal 108 buku Bartle, maka \lim (\sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1})=\infty .

Soal 5

Perhatikan bahwa

\vert \frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2} \vert = \frac{|2x-1|}{2|x+1|}|x-1|

Kita batasi \vert x-1 \vert < 1 , maka \vert 2x-1 \vert < 3 dan \vert 2(x+1) \vert >2 . Oleh karena itu,

\frac{|2x-1|}{2|x+1|}< \frac{3}{2} .

Bukti formal, ambil \epsilon>0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{2 \epsilon}{3} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-1|< \delta , maka

|\frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2}|< \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x+1}{x+1}= \frac{1}{2} .

Soal 6

Ambil \epsilon >0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{\epsilon}{19} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-2|< \delta , maka

|x^{3}-8|= |x^{2}+2x+4||x-2|<19 \delta < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 2} x^{3}=8 .

Dua soal terakhir menyusul.

Tagged with:

7 comments

Pengumuman Lagi

Posted in Analisis Kompleks, Analisis Real by Anwar Mutaqin on November 23, 2009

Perkuliahan Analisis real tanggal 26 November 2009 dan analisis kompleks tanggal 24 November 2009 ditiadakan dan diganti dengan tugas mandiri.

Tugas Analisis kompleks: Rangkum materi tentang lintasan (kurva) dan integral kompleks, sebagai bahan awal bisa download di Integralkompleks. Lengakpi materi tersebut dan berikan contoh-contoh dan juga contoh soal.

Tugas Analisis Real: Rangkum materi tentang subbarisan dan dan barisan Cauchy, kerjakan minimal 3 soal.

Semua tugas dikumpulkan pada perkuliahan berikutnya!

Jawaban soal UTS anreal kelas nonreguler dapat diambil di
jwbutsreal dan kelas reguler di utsanrealreguler, sedangkan jawaban soal UTS analisis kompleks dapat dilihat di soalutskompleks

Selamat belajar dan mengerjakan tugas.

Tagged with: ,

leave a comment

Petunjuk Presentasi Analisis Real

Posted in Analisis Real by Anwar Mutaqin on November 1, 2009

Untuk kelompok yang akan mempresentasikan teorema-teorema limit:

  1. Definisi barisan terbatas, berikan beberapa contoh barisan yang terbatas dan juga contoh barisan yang tidak terbatas
  2. Bahas teorema : “setiap barisan terbatas konvergen”, berikan buktinya dan coba lihat kontraposisi dari barisan tersebut, apa artinya jelaskan.
  3. Bahas teorema 3.2.3, buktinya cukup bagian pertama saja. berikan beberapa contoh penggunaannya (lihat hal 82 – 83).
  4. Bahas teorema 3.2.7 (teorema apit), jelaskan butkinya berikan contoh penggunaannya.
  5. Bahas teorema 3.2.11. berikan buktinya (kalau bisa), jelaskan contoh penggunaannya. lihat latihan soal 3.2 no. 12 dan 15.

Untuk kelompok yang akan mempresentasikan barisan monoton:

  1. Jelaskan definisi barisan monoton (naik dan turun) dan berikan contoh2nya.
  2. Bahas teorema 3.3.2, jelaskan buktinya dan jelaskan pula maksudnya kemudian beri beberapa contoh.
  3. Bahas contoh2 di halaman 90.
  4. Bahas example 3.3.5

Ok, selamat bekerja. Presentasikan sebaik-baiknya dan rangkumannya dibagikan ke rekan2 Anda. Jika diperlukan Anda bisa tanya saya di Prodi.

Tagged with:

4 comments

Aksioma Kelengkapan

Posted in Analisis Real by Anwar Mutaqin on Oktober 21, 2009

Untuk bahan belajar aksioma kelengkapan, bisa download di sini.Aksioma Kelengkapan

2 comments