dengan (perkalian titik dari dua buah vektor) dan   (panjang vektor).

Rumus tersebut didapat dari aturan cosinus seperti yang dipelajari waktu SMA

.

Kita juga mengetahui bahwa , sehingga

,

atau bisa ditulis . Ketaksamaan terakhir ini disebut ketaksamaan Cauchy.

Ahli statistika menggunakan rumus sudut yang dibentuk dua vektor tersebut untuk mencari korelasi dua buah data. Data yang dikumpulkan dianggap sebagai vektor. Jika pengamatan dilakukan terhadap 40 orang, maka data yang terbentuk adalah vektor berdimensi 40. Namun dulu saya bingung mengapa rumus nya bukan

?

tetapi

.

Setelah ditelusuri lebih lanjut, ternyata data tersebut dibuat angka baku sebelum dicari korelasinya. Hal ini dilakukan untuk menghilangkan satuan. Jadi setiap datum dikurangi dengan rata-ratanya dan dibagi dengan simpangan baku. Lebih jelasnya datum menjadi

dan

Kemudian untuk mencari korelasi digunakan rumus di atas, yaitu

Disederhanakan menjadi

Dari sini jelaslah bahwa . Rumus korelasi di atas berlaku untuk data yang berbentuk interval atau rasio.

Menjawab dua pertanyaan di atas ternyata perlu belajar analisis real, setidaknya untuk saya. Pertanyaan ini juga pernah saya tanyakan di ruang kuliah, dan mereka terheran-heran dengan kenyataan bahwa pertanyaan itu harus dijawab dan jawabannya harus dibuktikan pula. Untuk itu harus diingat aksioma bilangan real, bisa dilihat di postingan sebelumnya.

Kita mulai dengan membuktikan bahwa bilangan o adalah tunggal. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja o’, sedemikian sehingga x+o’=x untuk setiap x, dan . Akibatnya 0+0′=0, karena 0′ adalah identitas pada penjumlahan. Tetapi, o+o’=0′ karena 0 juga identitas pada penjumlahan. Hal ini berarti 0′=0+0′=0, atau 0=0′. Ini menunjukkan bahwa o tunggal.

Bukti  bilangan 1 adalah tunggal serupa dengan sebelumnya. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja 1′, sedemikian sehingga x.1′=x untuk setiap x, dan . Akibatnya 1.1′=1, karena 1′ adalah identitas pada perkalian. Tetapi, 1+1′=1′ karena 1 juga identitas pada perkalian. Hal ini berarti 1′=1.1′=1, atau 1=1′. Ini menunjukkan bahwa 1 tunggal.

Dan ternyata jawabannya adalah ya. Hal ini berarti 0 dan 1 bersifat tunggal. Tidak ada bilangan lain yang menyamai 0 dan 1 dalam sifat identitas.

Secara sederhana, sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon, saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah bilangan yang digunakan untuk menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah ℕ. Anggota bilangan asli adalah N={1,2,3,…}.

Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi dengan suatu aturan untuk mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa  bukan anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai bilangan Cacah.

Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan nol, menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki notasi yang sama (untuk lebih lengkap, silakan baca buku Berhitung Sejarah dan Pengembangannya yang ditulis oleh Dali S. Naga). Dengan adanya bilangan nol, penulisan bilangan-bilangan yang besar pun menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India, tetapi kemudian dipopulerkan oleh Bangsa Arab pada era keemasan Islam.

Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.

Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan cacah. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4 = 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari  , maka 4 – 6 = -2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk bilangan bulat.

Notasi himpunan bilangan bulat adalah ℤ, dan anggota bilangan bulat adalah Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4-6 , tetapi dapat juga dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah. Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}. Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan asli.

Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah, terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif (grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup, komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan sebelumnya.

Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh. Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak, maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh). Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.

Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional. Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat membentuk struktur grup abelian terhadap operasi penjumlahan, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan (Field).

Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi miringnya (hypotenusa) adalah . Namun, tidak dapat dinyatakan dalam bentuk m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis real). Ini berarti ada bilangan lain di luar bilangan rasional. Bilangan tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem bilangan real membentuk lapangan terurut dan lengkap.

Perluasan himpunan bilangan real adalah himpunan bilangan kompleks. Kemunculan bilangan kompleks dapat diilustrasikan oleh usaha mencari solusi persamaan kuadrat . Bilangan yang memenuhi persamaan kuadrat itu adalah bilangan yang kuadratnya adalah -1. Tidak ada bilangan real yang memenuhi sifat demikian. Oleh karena itu, muncul himpunan bilangan kompleks. Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan dan $latex  i= \sqrt{-1}} $.

Aksioma Lapangan: Misalkan , maka berlaku sifat:

1. 
2. 
3. 
4. Terdapat sedemikian sehingga untuk setiap
5. Untuk setiap terdapat  sedemikian sehingga .
6. 
7. 
8. 
9. Terdapat yang berbeda dengan 0 sedemikian sehingga untuk setiap
10. Untuk setiap terdapat  sedemikian sehingga .
11. .

Selanjutnya didefinisikan dan .

Berdasarkan aksioma tersebut, banyak teorema dibuktikan. Untuk keperluan pembuktian 1/0, cukup saya tuliskan sebuah teorema yang buktinya bisa dilihat di buku Introduction to Real Analysis (Robert G. Bartle dan temannya).

Teorema *: untuk setiap .

Selanjutnya akan dibuktikan tidak ada. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan ada (pengandaian ini sama saja dengan mengandaikan aksioma ke 10 berlaku untuk setiap ), maka menurut aksioma 10,  . Namun, berdasarkan teorema *, (berapa pun bilangan real jika dikali nol hasilnya nol). Hal ini berarti 0=1. Jelas kontradiksi dengan aksioma bilangan real yang mengatakan 0 dan 1 berbeda. Ini berarti pengandaian salah, maka haruslah tidak ada.

Demikian cara membuktikan bahwa tidak ada atau tidak terdefinisi. Pembuktian dalam sistem bilangan kompleks saya kira serupa.

Epimenides berasal dari Kreta (salah satu pulau di Yunani). Epimenides berkata,”Semua orang Kreta pembohong”. Muncul pertanyaan, apakah Epimenides  mengatakan yang sebenarnya (jujur)? Jika kita jawab ya, maka artinya semua orang Kreta pembohong. Padahal, Epimenides (yang membuat pernyataan tadi) berasal dari Kreta. Ini berarti Epimenides juga seorang pembohong, sehingga pernyataannya tidak bisa dipercaya. Hal ini berarti kontradiksi.

Sebaliknya, jika kita menjawab tidak, maka orang Kreta jujur (tidak bohong). Padahal barusan Epimenides, yang berasal dari Kreta telah berbohong. Hal ini juga merupakan kontradiksi. Demikian penjelasan dari beberapa artikel dan buku yang pernah saya baca, hanya saya tidak bisa menyebutkan judul dan penulisnya karena sudah lama sekali bacanya.

Perhatikan kembali jawaban tidak atas pernyataan Epimenides di atas. Hal ini berarti pernyataan “Semua orang Kreta pembohong” salah, sehingga yang benar adalah kebalikannya (negasi). Kebalikan dari pernyataan Epimenides tersebut adalah “Ada orang Kreta yang jujur (bukan pembohong)”, bukan “semua orang Kreta jujur”. Orang Kreta yang jujur tersebut pastilah bukan Epimenides karena dengan membuat pernyataan di atas, dia telah berbohong.

Dengan demikian sebenarnya pernyataan tersebut jika dijawab tidak, maka tidak ada kontradisksi di dalamnya.