Matematika

TEORI PELUANG DAN LAILATUL QADR

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Juni 28, 2015

Bagaimana cara memenangkan undian kupon berhadiah? Gampang, borong aja semua kuponnya pasti akan menang. Sederhana sekali. Tentu saja orang tidak melakukan hal itu karena biaya yg dikeluarkan utk membeli seluruh kupon jauh lebih besar daripada hadiah yang didapat. Pasti bangkrut. Oleh karena itu, orang mencari cara memenangkan undian atau judi dengan modal yang sedikit untuk dapat hadiah yang besar. Ada yang pergi ke dukun, bertapa di kuburan, dan lain-lain.

Di Eropa, keinginan orang untuk memenangkan judi melahirkan teori peluang seperti yang kita pelajari di sekolah dan di Perguruan Tinggi. Pada mulanya Chevalier de Mere bertanya kepada Blaise Pascal dan Pierre de Fermat tentang cara memenangkan judi, karena Mere lebih sering kalah judi makanya jadi Kere (mirip dgn namanya, hehe). Mulailah Pascal mengerjakan matematika berkaitan dengan pertanyaan tersebut. Saran yang diberikan Pascal kepada Mere pada dasarnya adalah dasar-dasar teori peluang. Fermat mengembangkannya lebih lanjut. Jadi bisa dikatakan Teori peluang lahir di meja judi.

Pada mulanya teori peluang dianggap sebagai ilmu haram. Perkembangan selanjutnya teori peluang banyak membantu dalam bidang sain dan teknologi. Penelitian partikel elementer dan teori kuantum tidak lepas dari peran Teori Peluang. Begitu juga pada teknologi pengenalan wajah, sidik jari, search engine, dan lain-lain teori peluang ditemukan di sana.

Apa hubungannya dengan Lailatul Qadr?

Bulan Ramadhan adalah bulan mulia dan Al Quran turun pertama kali. Di dalamnya ada lailatul qadr yang oleh Allah disebut lebih baik daripada 1000 bulan. Artinya ibadah pada malam tersebut pahalanya setara dengan ibadah 1000 bulan atau sekitar 83 tahun (kalo salah tolong dikoreksi). Setiap muslim sejati pasti mencari saat lailatul qadr. Dalam hadits dikatakan bahwa lailatul qadr itu da di sepuluh ramadhan terakhir pada malam ganjil.

Namun demikian, seperti pertanyaan di bagian awal, bagaimana cara kita mendapatlan lailatul qadr? Gampang, carilah di tiap malam Bulan Ramadhan. Maksudnya, lakukanlah ibadah (qiyamul lail) yang banyak di setiap malam Ramadhan, dijamin pasti mendapatkan lailatul qadr. Tak perlu teori peluang untuk menerka pada malam ke berapa dari Ramdhan berlangsung lailatu qadr.

Pada kasus memenangkan kupon undian tidak mungkin dengan memborong semua kupon karena pasti bangkut. Sementara, untuk mendapatkan lailatul qadr  cari di tiap malam ramadhan, sudah pasti untung besar karena nilai ibadahnya setara 83 tahun. Jauh lebih besar pahala daripada usaha yang diperlukan.

SELAMAT MENJALANKAN IBADAH PUASA

Cerita seputar Limit Fungsi

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Mei 30, 2015

Penggalan Surat Al Qof ayat 6

.ونحن اقرب اليه من حبل الوريد  …

… dan kami lebih dekat kepadanya daripada urat lehernya.

Pertanyaannya, apa maksudnya “lebih dekat”? Seberapa dekat yang disebut dekat tersebut?

Salah satu penafsiran ayat tersebut, yang dimaksud adalah kedekatan malaikat karena selalu mengawasi manusia. Argumennya karena menggunakan kata nahnu yg artinya kami, smntr Allah bersemayang di arsy berdasarkan beberapa ayat.
Di pihak lain yang ekstrim, ayat tersebut memunculkan ajaran wihdatul wujud, bersatunya manusia dgn sang khalik. Ajaran yg dibawa Ibnu Arabi, Al Halaj, sampai syekh Siti Jennar. Jika ada rekan yang suka dengar lagu Dewa, coba dengerkan lagu yg judulnya SATU. Katanya lagu tersebut  terinspirasi dari ajaran wihdatul wujud.
Tentang tafsir lain, saya tidak banyak tahu, kurang belajar sih.

Nah, saya mau menyoroti dari aspek Matematika (meskipun tidak ahli juga, tapi minimal saya pernah dan sedang belajar Matematika). Pertanyaan tentang pengertian dekat tersebut pernah muncul dalam Matematika. Ceritanya pada saat Newton menemukan/menciptakan teori limit fungsi. Limit adalah dasar dari Kalkulus, bahkan Analisis. Saya pernah baca ada penulis buku Matematika yang mendefinisikan Analisis sebagai kajian tentang limit. Di buku Kalkulus, Newton mendefinisikan limit fungsi sebagai berikut: \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L jika f(x) sangat dekat ke L pada saat x sangat dekat ke-a (x tidak perlu sama dengan a ).

Limit bersama Kalkulus digunakan Newton (salah satunya) untuk menjelaskan laju (kecepatan, percepatan) sesaat. Kalkulus sukses digunakan pada Mekanika Newton dan beberapa teori lainnya. Pokoknya Kalkulus (di dalamnya ada Persamaan Diferensial) sukses dan banyak membantu pada bidang Fisika.

Masalahnya, definisi limit tersebut tidak formal, tidak jelas, atau gampangnya tidak memenuhi standar Matematika. Tidak jelas apa maksudnya cukup dekat, dekat itu sedekat apa? Matematikawan butuh definisi formal yang rigor, jelas, dan tidak mendua arti. Definisi limit fungsi juga menentukan definisi kekontinuan fungsi.

Tentu saja banyak matematikawan yang berusaha merumuskan definisi limit tersebut. Konon, pertanyaan berkait definisi limit merupakan salah satu krisis dalam Fondasi Matematika. Konsep limit banyak dipakai dan sukses, tetapi definisi yang akurat dan memenuhi standar Matematika belum ada.

Pada akhirnya tawaran definisi limit dari Cauchy yang diterima sampai saat ini (ada perbaikan dari Weisstrass juga katanya). Pertanyaan seberapa dekat dijawab dengan definisi \epsilon-\delta . Jadi, seperti yang kita tahu definisi limit sebagai berikut: \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L jika \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \ sedemikian sehingga jika  x \in D_f dan 0<|x-a|<\delta , maka |f(x)-L|<\epsilon .

Katanya sih banyak mahasiswa yang tidak paham definisi tersebut, meskipun bisa mengitung nilai limit. Jika menggunakan kata-kata kira-kira (kira-kira nih ga akurat jg, hehe) begini: Kalo kita buat interval1 di sumbu-y dengan pusat di L dan jari-jari epsilon, maka kita harus bisa membuat interval2 di sumbu-x dgn pusat di a dengan jari2 delta sehingga peta interval2 tanpa a subset dari interval1, seberapa pun kecil epsilon. Oleh karena itu, delta yg dicari mesti bergantung pada epsilon.
Nah, Anda paham penjelasan itu? Ah jangan-jangan makin ribet ya? (Pertanyaan utk anak S1 math atau pend math).

Masalah Warisan

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Januari 27, 2015

Pada tulisan di Harian Kompas, Pak Liek Wilardjo mengeluhkan lemahnya penguasaan logika di kalangan siswa, bahkan mahasiswa S3. Salah satu buktinya, Paul Suparno mengajukan pertanyaan logika di hadapan mahasiswa S3, dan mereka kesulitan menjawab soal ini

Seorang ayah mewariskan 17 ekor unta kepada ketiga anaknya dengan ketentuan bahwa tidak boleh ada unta yang dijual atau disembelih. Anak sulungnya mendapatkan separuh, anak kedua mendapatkan sepertiga, dan anak bungsunya sepersembilan. Karena amanah itu tak dapat dipenuhi, paman ketiga bersaudara itu membantu mereka dengan memberikan seekor untanya. Maka, si sulung menerima sembilan ekor unta, adiknya enam ekor, dan si bungsu kebagian dua ekor. Seekor lagi dikembalikan kepada paman mereka. Pertanyaannya, (1) tinjaulah soal ini secara logika, dan (2) benarkah kalau dikatakan bahwa “realitas ialah unta yang ke-18”?

Saya tidak tahu cara menjawab pertanyaan logika tersebut. Saya mendapatkan cerita semacam itu ketika sekolah di SMA, bahkan jadi bahan candaan di antara teman-teman. Hanya pertanyaan yang diajukan adalah bagaimana cara membagi warisan tersebut. Kami memang tidak bisa menjelaskan mengapa solusinya bisa seperti yang disebutkan, hanya kagum dengan cara penyelesaian masalah warisan tersebut.

Saya merasa masalah yang diajukan Pak Paul Suparno mirip dengan paradoks Zeno, pelik secara logika namun mudah jika kita gunakan konsep Matematika.

Seperti halnya paradoks Zeno, masalah pembagian warisan di atas dapat diselesaikan dengan konsep deret geometri. Pertama, Anak sulung mendapat \frac{1}{2} bagian, anak kedua mendapat \frac{1}{3} bagian, dan anak bungsu mendapat \frac{1}{9} bagian. Dari pembagian ini, kita dapatkan total \frac{17}{18} , artinya masih tersisa \frac{1}{18} . Bagian \frac{1}{18} ini dibagikan lagi kepada seluruh anak dengan proporsi sesuai wasiat. Maka masing-masing anak mendapat tambahan \frac{1}{36} , \frac{1}{54} , dan \frac{1}{162} . Pembagian tahap kedua tersebut menyisakan \frac{1}{324} bagian. Jika pembagian ini dilakukan terus menerus, maka:

Anak sulung mendapat \frac{1}{2} + \frac{1}{2}. \frac{1}{18} + \frac{1}{2}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak kedua mendapat \frac{1}{3} + \frac{1}{3}. \frac{1}{18} + \frac{1}{3}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak bungsu mendapat \frac{1}{9} + \frac{1}{9}. \frac{1}{18} + \frac{1}{9}. \frac{1}{324} + \cdots

masing-masing anak membentuk deret geometri dengan rasio \frac{1}{18} , dengan suku pertama masing-masing \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , dan \frac{1}{9} . Dengan rumus deret geometri seperti yang telah dipelajari anak SMA atau sederajat di kelas 3, maka bagian masing-masing anak adalah \frac{9}{17} , \frac{6}{17} , dan \frac{2}{17} . Dengan demikian, jatah unta masing-masing anak-anak adalah 9, 6, dan 2 ekor. Sama persis dengan pembagian telah dilakukan.

Jadi pertanyaan kedua dari Pak Liek Wilardjo bisa kita jawab (dengan cara orang awam) bahwa unta ke -18 tidak ada, atau dengan kata lain tidak perlu pinjam satu unta untuk membagi warisan tersebut.

Tagged with: , ,

Dasar-Dasar Pengetahuan Deduktif

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on September 27, 2013

Kita sering mendengar dan membaca bahwa matematika adalah pengetahuan yang disusun berdasarkan penalaran deduktif. Bahkan menurut Bloch (2000: 56), Semua cabang-cabang matematika murni sampai saat ini disusun dalam sistem aksiomatik deduktif. Bekerja dalam sistem aksiomatik deduktif melibatkan konstruksi bukti secara ketat untuk menghasilkan pengetahuan matematika yang baru. Nah, sebetulnya seperti apa sistem aksiomatik deduktif tersebut dan teori apa yang mendasarinya?

Konsep pengetahuan deduktif menurut Aristoteles adalah suatu teori T yang terdiri atas himpunan pernyataan yang memenuhi postulat-postulat berikut:

  1. Setiap pernyataan dari T memuat unsur-unsur domain tertentu dari dunia nyata. (Postulat realitas).
  2. Setiap pernyataan dari T mempunyai nilai benar. (Postulat kebenaran)
  3. Apabila sejumlah pernyataan berada dalam T, maka setiap konsekuensi logika dari pernyataan-pernyataan tersebut harus berada dalam T juga. (Postulat deduktivitas)
  4. Sejumlah unsur dari T yang berhingga banyaknya mempunyai sifat berikut. a) arti unsur-unsur tersebut dapat langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita dan tidak perlu diterangkan lebih lanjut, a) setiap unsur dari T lainnya harus didefinisikan, yaitu harus dapat dikembalikan pada, dan dinyatakan dengan unsur-uunsur tersebut dalam pernyataan 4.a.
  5. Sejumlah pernyataan dari T yang berhingga banyaknya mempunyai sifat berikut; a) kebenaran pernyataan-pernyataan tersebut langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita dan tidak memerlukan bukti, b) kebenaran dari pernyataan T lainnya didasarkan atas dan diturunkan dari pernyataan-pernyataan dalam pernyataan 5.a dengan menggunakan inferensi logika.

Postulat 4.a dan 5.a  disebut postulat evidensi, sedangkan pernyataan-pernyataan dari unsur-unsur pokok pada 4 dan 5 bersama-sama disebut prinsip-prinsip dari pengetahuan T di atas. Adapun alat yang diperkenankan untuk digunakan dalam inferensi logika adalah logika formal semata.

Lahir dan berkembangnya suatu pengetahuan deduktif melalui beberapa tahap. Tahap pertama adalah pengumpulan sejumlah fakta melalui trial dan error. Tahap ini disebut pra-saintifik. Setelah terkumpul sejumlah fakta, maka diadakan pengorganisasian. Pada tahap ini dipilih, secara cermat, sejumlah unsur dan pernyataan pokok yang evident, yaitu arti dan kebenarannya langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita. Pernyataan pokok dinamakan aksioma atau postulat (untuk sementara, aksioma dan postulat dianggap sama).

Makna teori di atas adalah, apabila orang hendak mendefinisikan suatu unsur, maka harus digunakan unsur-unsur lainnya yang sudah dikenal. Yang terakhir ini pun harus definisikan, dan agar tidak terjadi definisi yang berlingkar, harus digunakan unsur-unsur yang lainnya lagi. Namun, proses demikian tidak dapat dilaksanakan terus-menerus. Jika situasi ini hendak dihindari, pada suatu waktu orang harus berhenti mendefinisikan. Nah, di sinilah perlunya unsur pokok. Jadi, unsur pokok diperlukan agar kita tidak berputar-putar dalam mendefinisikan suatu unsur. Dalam geometri, unsur pokok tersebut di antaranya: titik, garis, dan bidang. Kita tidak perlu lagi bertanya apa definisi titik, garis, dan bidang. Contoh lain, kita bisa bertanya, apa definisi persamaan? Mungkin akan dijawab, persamaan adalah pernyataan terbuka yang memuat tanda “sama dengan”. Kemudian dilanjutkan, apa definisi kalimat terbuka? Mungkin akan dijawab, kalimat yang belum dipastikan benar atau salahnya. Sampai di sini kita tidak lagi perlu bertanya definisi kalimat, “sama dengan”, dan benar.

Situasi berkenaan dengan pernyataan-pernyataan  dari teori T adalah analog. Pada suatu waktu orang harus berhenti pada pernyataan-pernyataan yang tidak dibuktikan lagi. Namun, memang tidak diperlukan bukti karena evidensi kebenarannya dijamin oleh intuisi kita, baik intuisi geometri, intuisi aritmetika (Aksioma-Aksioma Peano), intuisi etika (Spinoza) dan lain-lain, jika pengetahuan yang bersangkutan dikemas dalam suatu teori semacam T. Beberapa contoh aksioma di antaranya: Aksioma Euclides tentang geometri, Aksioma lapangan bilangan real. dan Aksioma kelengkapan bilangan real.

Pengorganisasian dalam teori deduktif demikian, diperoleh insight akan interdependensi dari teorema-teorema teori T. Keuntungan lain dari prosedur deduktif suatu ilmu adalah jika kita meragukan kebenaran suatu teorema karena tidak sesuai dengan suatu pengalaman tertentu dalam dunia real, maka penelitian dapat dikembalikan pada aksioma-aksioma yang jumlahnya sedikit itu. Hal ini karena teorema tersebut diturunkan dari pernyataan-pernyataan pokok (aksioma-aksioma) dengan logika formal. Di sini terlihat pentingnya intuisi logika sebagai sumber penalaran dibandingkan intuisi jenis lain karena logika dapat digunakan di setiap teori T tanpa memperhatikan subject matter dari T.

Dengan latar belakang di atas, 25 tahun setelah Aristoteles, Euclides membangun geometri sebagai pengetahuan deduktif tentang ruang di mana kita hidup. Pernyataan-pernyataan pokoknya, yang disebut aksioma dan postulat dipilih dengan cermat dan menyajikan sifat-sifat paling sederhana dari unsur-unsur dari ruangan yang langsung dapat ditangkap oleh pikiran. Dengan kata lain, aksioma-aksioma Euclides dimaksud sebagai self evident truth. Demikian juga teorema-teoremanya dimaksud sebagai pernyataan-pernyataan yang benar tentang unsur-unsur dari dunia nyata. Segala sesuatu sesuai dengan postulat realitas, postulat kebenaran, dan lain-lain postulat dari teori sain deduktif yang diciptakan oleh Aristoteles.

Seperti diketahui oleh matematikawan, dalam perkembangan aksiomatika selanjutnya, unsur-unsur primitif dikosongkan dari arti sehingga aksioma-aksiomanya bukan lagi merupakan self evident truth, melainkan berubah menjadi kesepakatan belaka. Dengan cara demikian didapat teori-teori aljabar abstrak, topologi, dan lain-lain.

Uraian tentang syarat-syarat sebuah pernyataan dijadikan aksioma, akan disajikan pada tulisan berikutnya.

Disarikan dari Tulisan Soehakso, 1998. Kedudukan logika pada bangunan ilmu matematika dan sains serta peranannya dalam riset dan dalam pendidikan. Dalam Sumaji, dkk. Pendidikan Sains yang Humanistis.

Bloch, E.D. (2000). Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics. Boston: Birkhauser.

Tagged with: , ,

Bilangan Prima

Posted in Pembelajaran Matematika Sekolah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on September 26, 2013

Kalian pasti sudah mengenal bilangan Prima (Prime Number). Bilangan prima adalah bilangan Asli yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contoh 2, 3, 5, dan seterusnya. Bilangan 1 bukan bilangan Prima karena hanya mempunyai satu faktor. Bilangan yang bukan 1 dan bukan bilangan Prima disebut bilangan komposit. Salah satu dalil yang terkenal berbunyi, Setiap bilangan komposit merupakan perkalian bilangan-bilangan Prima. Dalil tersebut dikenal sebagai Teorema Dasar Aritmetika. Nah, berapa banyak bilangan Prima yang kalian tahu?

Eratosthenes mempunyai suatu metode untuk mendapatkan bilangan prima pada rentang tertentu. Metode itu diberi nama saringan Eratosthenes (Eratosthenes Sieve). Misalkan kita akan mencari bilangan Prima yang kurang dari n, dengan n bilangan Asli, maka modal kita adalah bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{n} . Sebagai contoh, kita akan mencari bilangan Prima di antara 1 dan100. Kita tahu bahwa \sqrt{100}=10 , dan bilangan Prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, dan 7. Selanjutnya kita daftarkan bilangan 1 sampai 100 dalam tabel 10 x 10. Kemudian lakukan langkah berikut:

  • Coret angka 1
  • Coret semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2
  • Coret semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3. Pada langkah ini, bilangan yang sudah dicoret tidak perlu dicoret lagi.
  • Coret semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5.
  • Coret semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7. Pada langkah ini bilangan yang dicoret hanya 49, 77, dan 91.

Cukup sampai 7, karena Prima terbesar yang kurang dari \sqrt{100} adalah 7. Bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan Prima. Sampai di sini kita dapatkan bilangan Prima yang terletak di antara 1 dan 100, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97. Ada 25 bilangan prima antara 1 dan 100. Kalian bisa mempercepat proses itu dengan bantuan excel. Lihat caranya pada bagian bawah.

Secara umum, jika kita akan mencari bilangan Prima dari 1 sampai bilangan n, maka kita cari dulu bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{n} . Setelah itu lakukan langkah-langkah pencoretan bilangan seperti di atas sampai pada bilangan prima yang kurang dari \sqrt{n} tersebut. Pada contoh di atas \sqrt{100}=10 , dan bilangan prima yang kurang dari atau sama 10 adalah 7. Jadi, pencoretan bilangan dari 1 sampai 100 berhenti di kelipatan bilangan 7. Anda bisa mencoba untuk bilangan Prima yang kurang dari 200.

Sejak dulu banyak matematikawan yang berusaha membuat rumus untuk mencari bilangan Prima. Pada kasus tertentu rumus itu benar, tetapi pada kasus yang lain ternyata salah. Oleh karena itu, sampai saat ini belum ada rumus yang dalam waktu singkat dapat menentukan bilangan Prima. Meskipun demikian, kita tentu kagum dengan upaya para matematikawan tersebut karena pencarian itu membawa mereka belajar banyak hal.
Beberapa rumus yang menghasilkan bilangan Prima untuk beberapa kasus adalah sebagai berikut:

  • F(n) = n^2-n+41 untuk n bilangan Asli. Rumus ini menghasilkan bilangan Prima untuk n=1,2,,3,dst, tetapi untuk n=41 rumus tersebut gagal karena menghasilkan 412 yang jelas bukan merupakan bilangan Prima.
  • F(n)=2^{2^n}+1 untuk n bilangan Asli. Rumus ini diciptakan oleh Fermat, seorang Matematikawan dari Perancis. Rumus tersebut memberikan bilangan Prima untuk n=0,1,2,3,dan 4 , tetapi gagal untuk n=5 dan n=6.
  • F(p)=2^p-1 dengan p bilangan Prima yang telah diketahui. Rumus ini diciptakan oleh Marsenne. Untuk beberapa nilai p rumus tersebut menghasilkan bilangan Prima, tetapi untuk p=11 rumus tersebut menghasilkan bilangan komposit (bukan Prima).

Jadi, sampai saat ini cara yang meyakinkan adalah menggunakan saringan Eratosthenes.

Ada berapa banyak bilangan Prima? Euclides dari Yunani membuktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan Prima. Meskipun demikian, para ahli matematika sepanjang masa berusaha mencari terus bilangan Prima yang lebih besar dari yang diketahui saat ini. Pencarian bilangan Prima merupakan salah satu pekerjaan yang menyenangkan bagi beberapa pakar matematika dan komputer. Pencarian ini seperti mendaki Puncak Everest, kata George Woltman, seorang pakar ilmu komputer. Bedanya, Everest memilik puncak sehingga pendakian suatu saat berhenti, sedangkan bilangan Prima tidak akan tidak akan terhenti karena memang tidak ada bilangan Prima terbesar. Artinya, jika sekarang ditemukan bilangan Prima lebih dari bilangan prima yang telah diketahui, maka kelak pasti akan ditemukan lagi bilangan Prima yang lebih besar.

Harian Kompas tanggal 6 Februari 2013 memberitakan penemuan bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia saat ini. Bilangan Prima tersebut adalah 2^{57.885.161}-1 . Ini merupakan bilangan Prima yang masuk kelompok bilangan Prima Marsenne, yaitu bilangan Prima yang berbentuk 2^p-1 . Bilangan Prima tersebut memiliki 17.425.170 digit (angka). Kita bisa bayangkan betapa panjangnya bilangan tersebut jika ditulis di kertas. Jika menggunakan ukuran huruf seperti pada tulisan di buku ini, maka bilangan Prima tersebut panjangnya sekitar 34,85 km.

Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan dari University of Central Missouri, Curtis Cooper. Bilangan prima ini adalah bilangan prima besar ketiga yang berhasil ditemukan oleh Cooper. Penemuan bilangan prima terbesar dilakukan lewat upaya kolektif lewat Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), misi yang dibantu 360.000 prosesor, mengoperasikan 150 triliun penghitungan per detik. Proses pengecekan lewat komputer dilakukan untuk mengonfirmasi penemuan. Atas penemuannya tersebut Curtis Cooper memperoleh hadiah $ 3000. Bilangan Prima bentuk Marsenne dapat dilihat di http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima_Mersenne
Sebelumnya bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia adalah 2^{43.112.609}-1 yang ditemukan pada tahun 2008. Bilangan ini memiliki 12.978.189 digit. Proses menemukan bilangan Prima tersebut dapat dilakukan dengan cara Saringan Eratosthenes. Namun, butuh waktu bertahun-tahun untuk mendapatkan bilangan Prima berikutnya. Barangkali tidak akan selesai seumur hidup manusia. Oleh karena itu, komputer canggih dengan kecepatan luar biasa diperbantukan untuk mencari bilangan Prima tersebut. Ini pun membutuhkan komputer dalam jumlah yang banyak.

 
Fakta lain yang menarik dari bilangan Prima adalah bilangan Prima kembar (Twin Prime Numbers), yaitu dua bilangan Prima yang berurutan. Sebagai contoh (2,3), (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (18383549,18383551) dan seterusnya. Pertanyaannya adalah: Apakah pasangan bilangan Prima kembar tersebut ada berhingga buah atau ada tak hingga buah? Sampai saat ini belum ada matematikawan yang berhasil menjawab pertanyaan tersebut.

 
Nah, jika kalian berminat mencari bilangan Prima yang cukup besar, kita bisa manfaatkan Microsoft Excel dengan modal bilangan Prima yang sudah kita tahu dari saringan Eratosthenes, yaitu 2, 3, … ,97. Cara yang akan kita gunakan pun menggunakan saringan Eratosthenes. Dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 100 tersebut, kita bisa mencari semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Mengapa bisa begitu? Ingat untuk mencari bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita harus mempunyai bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{n} . Jad, jika kita mempunyai semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita bisa mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n^2 .

 
Untuk keperluan tersebut, kita pelajari dulu operasi MOD. Mod adalah operasi Aritmetika untuk mencari sisa hasil bagi dari dua buah bilangan. Misalnya, 16 Mod 3 = 1 karena 16 dibagi 3 (hasilnya 5) sisanya 1. Jadi, 15 mod 3 = 0 (dengan kata lain 15 habis dibagi 3 atau 3 adalah faktor dari 15), 23 mod 4 = 3 (dengan kata lain 23 tidak habis dibagi 3 atau 3 bukan faktor dari 23).

 
Konsep yang harus dipahami untuk mencari bilangan Prima yang lebih dari 100 dan kurang dari atau sama dengan 10.000 adalah: Jika bilangan tersebut habis dibagi 2, 3, … ,97, maka bilangan tersebut BUKAN bilangan Prima. Misalnya kita akan memeriksa apakah 101 bilangan Prima atau bukan, maka harus dicek 101 mod 2, 101 mod 3, 101 mod 5, …, 101 mod 11. Jika hasil salah satu operasi di atas sama dengan nol, maka 101 bukan bilangan Prima (komposit). Sebaliknya, jika hasil semua operasi di atas tidak sama dengan nol (≠0), maka 101 adalah bilangan Prima.
Langkah pertama adalah menuliskan bilangan ganjil dari 101 sampai 10.000 pada kolom A (Ingat bilangan Prima yang kurang dari 100 sudah kita tahu). Pada sel B1 ketik:
=IF(OR(MOD(A101;2)=0;MOD(A101;3)=0;MOD(A101;5)=0;MOD(A101;7)=0;MOD(A101;11)=0;MOD(A101;13)=0;MOD(A101;17)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;23)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;31)=0;MOD(A101;37)=0;MOD(A101;41)=0;MOD(A101;43)=0;MOD(A101;47)=0;MOD(A101;51)=0;MOD(A101;53)=0;MOD(A101;59)=0;MOD(A101;61)=0;MOD(A101;67)=0;MOD(A101;71)=0;MOD(A101;73)=0;MOD(A101;79)=0;MOD(A101;83)=0;MOD(A101;89)=0;MOD(A101;91)=0;MOD(A101;91)=0;);”—“;”Bil. Prima”)
Copy sel B1 pada B2, B3, dan seterusnya. Maka kita mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Ada 1207 bilangan Prima yang didapat. Jika digabung dengan hasil sebelumnya (bilangan Prima yang kurang dari 100) maka kita memperoleh 1232 bilangan Prima.

Perintah OR dalam Excel adalah memilih salah satu atau semuanya. Sintak perintahnya adalah =OR(pilihan_1;pilihan_2,…,pilihan_k). Perintah MOD dalam Excel adalah untuk mencari sisa pembagian suatu bilangan. Sintak perintahnya adalah =MOD(bilangan yang dibagi;bilangan pembagi). Contoh =MOD(14;5) akan menghasilkan 4.
Dengan hasil tersebut kita juga bisa mendapatkan bilangan Prima kembar. Jika kalian tertarik, maka pencarian berikutnya adalah bilangan Prima yang kurang dari 100.000.000 dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Tentu membutuhkan waktu yang lama untuk mengetik perintah di Excel. Dengan melakukan peekrjaan tersebut, kalian sudah menyerupai pekerjaan Curtis Cooper.
Dengan cara yang sama, kita bisa memeriksa pada n atau p berapa rumus-rumus F(n) = n^2-n+41 , F(n)=2^{2^n}+1, dan F(p)=2^p-1 menghasilkan bilangan Prima dan bukan bilangan Prima.
Untuk apa matematikawan mencari bilangan Prima yang sangat besar? Sebenarnya itu merupakan salah satu kesenangan. Namun di balik itu, bilangan Prima yang besar digunakan untuk membuat sandi. Gagasannya sederhana, jika kita mempunyai dua bilangan Prima, maka mudah bagi kita untuk mengalikannya. Tetapi jika kita mempunyai bilangan komposit (hasil perkalian sejumlah bilangan Prima yang besar), maka sangat sulit bagi siapa pun untuk memfaktorkannya. Sandi diperlukan jika kita akan mengirim suatu pesan, tetapi pesan itu tidak ingin diketahui oleh pihak musuh. Untuk memahami hal tersebut, silakan download di http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/01/matematika-persandian.pdf.

Tagged with: