Matematika

Kriteria Kebenaran

Posted in Uncategorized, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Februari 22, 2010

Kita seringkali mendengar orang mengatakan, “kita harus menjunjung tinggi kebenaran”. Kasus terbaru barangkali adalah tindakan Susno Duadji yang bersedia menjadi saksi bagi kasus Antasari. Tindakan ini menuai protes dari pihak kepolisian, lembaga tempat Susno berdinas, bahkan fasilitas yang selama ini dinikmati Susno ikut dicabut. Banyak isu yang beredar berkaitan dengan hal tersebut berkaitan dengan karir Susno di kepolisian. Ketika diwawancara wartawan, Susno mengungkapkan bahwa tindakan yang dilakukannya adalah untuk mengatakan kebenaran. Hal ini tentu dinilai salah oleh lembaga Kepolisian.

Lain halnya yang dilakukan pansus Century, masing-masing fraksi yang ada di pansus tersebut saling berbeda pendapat. Namun demikian mereka tetap mengatakan bahwa yang mereka lakukan adalah mengungkapkan kebenaran. Sampai di sini terlihat bahwa ada perbedaan cara pandang tentang kebenaran. Jika demikian, apa yang dimaksud dengan kebenaran? Apa kriterianya suatu pernyataan atau tindakan dikatakan benar? Tulisan ini berusaha menjawab pertanyaan tersebut.

Dalam buku-buku teks pengantar filsafat ilmu, sering dikatakan bahwa teori atau kriteria kebenaran ada tiga, yaitu korespondensi, koherensi, dan pragmatis. Teori kebenaran korespondensi mengatakan bahwa suatu pernyataan dikatakan benar jika bersesuaian dengan kenyataan. Sebagai contoh, Serang adalah ibukota Propinsi Banten adalah pernyataan yang benar karena sesuai dengan kenyataan. Contoh-contoh lain tentu masih banyak.

Teori kebenaran Koheherensi menyatakan bahwa suatu pernyataan dikatakan benar jika pernyataan tersebut bersesuaian (koheren) dengan pernyataan lain yang telah diketahui atau disepakati kebenarannya. Cara menunjukkan kebenaran suatu pernyataan menurut teori keherensi adalah dengan penalaran deduksi. Hal ini karena pernyataan yang diketahui atau disepakati kebenarannya tersebut adalah pernyataan yang berlaku umum. Matematika, teologi, dan tata peradilan adalah bidang-bidang yang menggunakan teori kebenaran koherensi untuk menentukan kebenaran suatu pernyataan atau tindakan. Kitab Undang-Undang bagi tata peradilan memiliki kedudukan yang sama dengan aksioma dalam matematika dan kitab suci bagi teologi.

Teori kebenaran yang ketiga adalah teori pragmatis yang menyatakan bahwa suatu pernyataan dikatakan benar jika pernyataan atau akibat penyataan tersebut memiliki kegunaan praktis dalam kehidupan manusia. Pelopor teori ini adalah Charles S. Pierce yang berasal dari Amerika Serikat. Agama dalam pandangan kaum pragmatis bisa dikatakan benar karena membuat manusia lebih teratur dan taat aturan hukum.

Sumber tulisan
Suriasumantri, J. S. Filsafat Ilmu Suatu Pengantar Populer.
Russell, B. Berpikir Ala Filsuf (terjemahan).

Iklan

Jawaban UAS Analisis Real

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Februari 1, 2010

Soal UAS Analisis Real lihat di bawah

View this document on Scribd

Jawaban

Soal 1

(a). Contoh barisan konvergen yang tidak monoton: x_n=(-1)^n \frac{1}{n} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(b). Contoh barisan yang konvergen dan monoton naik: a_n= \frac{n}{n+1} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(c). Contoh barisan yang konvergen dan tidak terbatas, tidak ada.

Soal 2

Akan ditunjukkan 1\leq x_n<x_{n+1}<3 .

Untuk n=1 , pernyataan tersebut benar. Misalkan pernyataan benar untuk n=k , yaitu

1 \leq x_k< x_{k+1}< 3   \cdots (#),

akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n=k+1 .

Perhatikan semua ruas (#) dikalikan 3, maka

3\leq 3x_k<3x_{k+1}<9 .

Kemudian semua ruas ditarik akarkuadratnya, maka

\sqrt{3}\leq \sqrt{3x_k}< \sqrt{3x_{k+1}}<3 ,

atau menjadi

1< \sqrt{3} \leq x_{k+1}<x_{k+2}<3 .

Hal ini berarti barisan x_n monoton naik dan terbatas, oleh karena itu x_n konvergen. Misal \lim x_n=x , maka

\lim x_{n+1}=\sqrt{\lim x_n}

x^2=x

sehingga x=0 atau x=3. Karena 1 \leq x_n <3 , maka \lim x_n=3 .

Soal 3

Ambil \epsilon >0 sebarang. Pilih N(\epsilon)> \frac{15}{2 \epsilon}, sehingga jika m,n \geq N(\epsilon) , maka berlaku

\vert \frac{3n}{2n+5}- \frac{3m}{2m+5} \vert < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa barisan x_n= \frac{3n}{2n+5} adalah barisan Cauchy.

Soal 4

Perhatikan bahwa

x_n= \sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1}= \frac{2n}{\sqrt{4n+1}+ \sqrt{2n+1}}

Pilih y_n= \sqrt{n} , maka

\lim \frac{x_n}{y_n}= \lim \frac{2n}{\sqrt{4n^{2}+n}+ \sqrt{2n^{2}+n}}= \frac{2}{2+ \sqrt{2}}>0 .

Berdasarkan teorema 3.6.5 di hal 108 buku Bartle, maka \lim (\sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1})=\infty .

Soal 5

Perhatikan bahwa

\vert \frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2} \vert = \frac{|2x-1|}{2|x+1|}|x-1|

Kita batasi \vert x-1 \vert < 1 , maka \vert 2x-1 \vert < 3 dan \vert 2(x+1) \vert >2 . Oleh karena itu,

\frac{|2x-1|}{2|x+1|}< \frac{3}{2} .

Bukti formal, ambil \epsilon>0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{2 \epsilon}{3} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-1|< \delta , maka

|\frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2}|< \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x+1}{x+1}= \frac{1}{2} .

Soal 6

Ambil \epsilon >0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{\epsilon}{19} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-2|< \delta , maka

|x^{3}-8|= |x^{2}+2x+4||x-2|<19 \delta < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 2} x^{3}=8 .

Dua soal terakhir menyusul.

Tagged with: