Matematika

Jawaban UAS Analisis Real

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah by Anwar Mutaqin on Februari 1, 2010

Soal UAS Analisis Real lihat di bawah

View this document on Scribd

Jawaban

Soal 1

(a). Contoh barisan konvergen yang tidak monoton: x_n=(-1)^n \frac{1}{n} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(b). Contoh barisan yang konvergen dan monoton naik: a_n= \frac{n}{n+1} , dan masih banyak contoh-contoh yang lain.

(c). Contoh barisan yang konvergen dan tidak terbatas, tidak ada.

Soal 2

Akan ditunjukkan 1\leq x_n<x_{n+1}<3 .

Untuk n=1 , pernyataan tersebut benar. Misalkan pernyataan benar untuk n=k , yaitu

1 \leq x_k< x_{k+1}< 3   \cdots (#),

akan ditunjukkan pernyataan benar untuk n=k+1 .

Perhatikan semua ruas (#) dikalikan 3, maka

3\leq 3x_k<3x_{k+1}<9 .

Kemudian semua ruas ditarik akarkuadratnya, maka

\sqrt{3}\leq \sqrt{3x_k}< \sqrt{3x_{k+1}}<3 ,

atau menjadi

1< \sqrt{3} \leq x_{k+1}<x_{k+2}<3 .

Hal ini berarti barisan x_n monoton naik dan terbatas, oleh karena itu x_n konvergen. Misal \lim x_n=x , maka

\lim x_{n+1}=\sqrt{\lim x_n}

x^2=x

sehingga x=0 atau x=3. Karena 1 \leq x_n <3 , maka \lim x_n=3 .

Soal 3

Ambil \epsilon >0 sebarang. Pilih N(\epsilon)> \frac{15}{2 \epsilon}, sehingga jika m,n \geq N(\epsilon) , maka berlaku

\vert \frac{3n}{2n+5}- \frac{3m}{2m+5} \vert < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa barisan x_n= \frac{3n}{2n+5} adalah barisan Cauchy.

Soal 4

Perhatikan bahwa

x_n= \sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1}= \frac{2n}{\sqrt{4n+1}+ \sqrt{2n+1}}

Pilih y_n= \sqrt{n} , maka

\lim \frac{x_n}{y_n}= \lim \frac{2n}{\sqrt{4n^{2}+n}+ \sqrt{2n^{2}+n}}= \frac{2}{2+ \sqrt{2}}>0 .

Berdasarkan teorema 3.6.5 di hal 108 buku Bartle, maka \lim (\sqrt{4n+1}- \sqrt{2n+1})=\infty .

Soal 5

Perhatikan bahwa

\vert \frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2} \vert = \frac{|2x-1|}{2|x+1|}|x-1|

Kita batasi \vert x-1 \vert < 1 , maka \vert 2x-1 \vert < 3 dan \vert 2(x+1) \vert >2 . Oleh karena itu,

\frac{|2x-1|}{2|x+1|}< \frac{3}{2} .

Bukti formal, ambil \epsilon>0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{2 \epsilon}{3} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-1|< \delta , maka

|\frac{x^{2}-x+1}{x+1}- \frac{1}{2}|< \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-x+1}{x+1}= \frac{1}{2} .

Soal 6

Ambil \epsilon >0 sebarang, pilih \delta< \min \{1, \frac{\epsilon}{19} \} , sehingga jika  x \in Domain dan 0<|x-2|< \delta , maka

|x^{3}-8|= |x^{2}+2x+4||x-2|<19 \delta < \epsilon .

Ini membuktikan bahwa \lim_{x \rightarrow 2} x^{3}=8 .

Dua soal terakhir menyusul.

Iklan
Tagged with:

5 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. msihabudin said, on Oktober 10, 2011 at 7:48 pm

    pertamax// . thanks.. .. bisa buat belajar

  2. Aufaa Islahiyah said, on Januari 15, 2012 at 2:33 am

    Asslm….
    pak, soal UAS AnReal tahun ni ga jauh dr soal diatas kan???
    he…….
    thanks,,,,,,,,,,,

  3. Moh.Noval said, on Desember 2, 2017 at 5:32 am

    Kasus 2. X mempunyai sejumlah hingga (mungkin nol) puncak.
    pertanyaan: maksud dari “mungkin nol” itu angka nol atau tidak punya puncak???/

    • Moh.Noval said, on Desember 2, 2017 at 5:33 am

      3.4.6. Teorema Subbarisan Monoton. Setiap barisan X = (xn) mempunyai subbarisan monoton.

      Bukti

      Untuk tujuan ini kita akan menyatakan suku ke-m xm merupakan puncak bila xm ³ xn untuk semua n ³ m. Selanjutnya kita akan mempertimbangkan dua kasus.

      Kasus 1. X mempunyai sejumlah tak hingga puncak. Dalam kasus ini, kita mengururt puncak-puncak tersebut dengan indeks naik. Jad kita mempunyai puncak-puncak xm1 , xm 2 ,…, xmk ,… dengan m1 < m2 < … < mk s1 sehingga xs 2 > xs1 . Karena xs2 bukan puncak, maka terdapat s3 > s2, sehingga xs 3 > xs2 . Bila kita

      meneruskan proses ini, kita peroleh subbarisan tak turun (bukan naik) (xsn) dari X.

      pertanyaan: maksud dari “mungkin nol” itu angka nol atau tidak punya puncak???


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: