Matematika

Himpunan Kosong

Posted in Pembelajaran Matematika Sekolah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 12, 2010

Himpunan kosong sebenarnya merupakan istilah yang ‘terlihat’ kontradiksi dengan pengertian himpunan itu sendiri. Kita tahu himpunan didefinisikan sebagai kumpulan objek yang terdefinisi dengan jelas. Dalam pengertian itu ada dua istilah yang penting yaitu kumpulan objek dan terdefinisi dengan jelas. Maksud terdefinisi dengan jelas adalah setiap orang yang berakal memiliki persepsi yang sama tentang keanggotaan himpunan. Misalnya, hewan berkaki empat, bilangan prima, bilangan genap, adalah konsep-konsep yang dipersepsi sama oleh setiap orang. Berlainan dengan hal tersebut adalah kriteria cantik yang akan dipersepsi berebda-beda dengan setiap orang karena tidak ada ukuran yang objektif.

Istilah yang kedua adalah kumpulan objek. Hal ini berarti harus ada objek untuk dikatakan sebagai himpunan. Di sinilah letak kontradiksi himpunan kosong yang saya maksud. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota, padahal definisi himpunan mensyaratkan adanya objek (anggota). Namun demikian, himpunan kosong tetap disertakan dalam pembahasan himpunan. Jika ditilik lebih lanjut, eksistensi himpunan kosong sebenarnya merupakan konsekuensi logika yang digunakan dalam matematika.

Himpunan kosong memiliki sifat-sifat yang ‘istimewa’, yang ada karena konsekuensi logika. Sifat istimewa tersebut tersebut adalah sebagai berikut:

  • Himpunan Kosong adalah subset dari sebarang himpunan
  • Berkaitan dengan sifat kelengkapan himpunan bilangan real, batas atas himpunan kosong adalah seluruh bilangan real. Demikian pula dengan batas bawahnya.
  • Dalam Topologi, himpunan Kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup

Mengapa himpunan kosong subset dari sebarang himpunan? Perhatikan kembali definisi subset berikut

A \subseteq B jika setiap anggota A merupakan anggota B. Dengan kata lain, A \subseteq B jika x \in A , maka x \in B .

Jika A kita ganti \varnothing , maka pernyataan x \in \varnothing benilai salah, sehingga apa pun nilai pernyataan x \in B , maka pernyataan “jika x \in A , maka x \in B ” bernilai benar. Akibatnya himpunan kosong adalah subset dari sebarang himpunan. Cara yang kedua adalah dengan melihat kontraposisi pernyataan “jika x \in A , maka x \in B “.

Selanjutnya, batas atas dan batas bawah himpunan kosong adalah seluruh bilangan real. Argumennya serupa dengan argumen di atas. Sedangkan, himpunan kosong adalah himpunan buka sekaligus himpunan tutup berasal dari definisi topologi yang mengharuskan adanya himpunan kosong dan himpunan semestanya.

Iklan