Matematika

Tentang 1/0

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 20, 2010

Tulisan ini saya buat karena membaca blog  http://ariaturns.wordpress.com/ -blog yang sering saya kunjungi- dan jawabannya belum tuntas karena hanya menggunakan analogi. Saya akan coba buktikan bahwa \frac{1}{0} tidak ada (atau tidak terdefinisi) dengan bekal analisis real atau kalkulus. Sebagai langkah awal, perhatikan aksioma lapangan bilangan real berikut:

Aksioma Lapangan: Misalkan x,y,z \in R , maka berlaku sifat:

  1. x+y \in R
  2. x+y=y+x
  3. (x+y)+z=x+(y+z)
  4. Terdapat 0 \in R sedemikian sehingga x+0=x untuk setiap x \in R
  5. Untuk setiap x \in R terdapat -x \in R sedemikian sehingga x+(-x)=0 .
  6. xy \in R
  7. xy=yx
  8. (xy)z=x(yz)
  9. Terdapat 1 \in R yang berbeda dengan 0 sedemikian sehingga 1.x=x untuk setiap x \in R
  10. Untuk setiap \neq x \in R terdapat x^{-1} \in R sedemikian sehingga x.x^{-1}=1 .
  11. x(y+z)=xy+xz .

Selanjutnya didefinisikan x-y=x+(-y) dan \frac{x}{y}=xy^{-1} .

Berdasarkan aksioma tersebut, banyak teorema dibuktikan. Untuk keperluan pembuktian 1/0, cukup saya tuliskan sebuah teorema yang buktinya bisa dilihat di buku Introduction to Real Analysis (Robert G. Bartle dan temannya).

Teorema *: x.0=0 untuk setiap x \in R .

Selanjutnya akan dibuktikan \frac{1}{0} tidak ada. Pembuktian dilakukan dengan kontradiksi. Andaikan \frac{1}{0} ada (pengandaian ini sama saja dengan mengandaikan aksioma ke 10 berlaku untuk setiap x \in R ), maka menurut aksioma 10,  \frac{1}{0}.0=1 . Namun, berdasarkan teorema *, \frac{1}{0}.0=0 (berapa pun bilangan real jika dikali nol hasilnya nol). Hal ini berarti 0=1. Jelas kontradiksi dengan aksioma bilangan real yang mengatakan 0 dan 1 berbeda. Ini berarti pengandaian salah, maka haruslah \frac{1}{0} tidak ada.

Demikian cara membuktikan bahwa \frac{1}{0} tidak ada atau tidak terdefinisi. Pembuktian dalam sistem bilangan kompleks saya kira serupa.

Tagged with: ,

25 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. Aria Turns said, on Maret 20, 2010 at 10:22 am

    nah..inilah penjelasan matematisnya kenapa 1/0 tak terdefinisi🙂
    penjelasan lainnya
    andaikan 1/0 ada, atau dengan kata lain 0 mempunyai invers terhadap perkalian maka
    0*1/0=1
    (0+0)*1/0=1
    (0*1/0)+(0*1/0)=1
    1+1=1
    2=1

    • Anwar Mutaqin said, on Maret 20, 2010 at 6:51 pm

      iya bener juga. Jadi, daripada mengacaukan lebih baik \frac{1}{0} dibuang saja.

  2. Herry Pribawanto S said, on Maret 20, 2010 at 11:48 am

    Pada aksioma lapangan no 4 dan 5 di atas seharusnya ada perbedaan penulisan urutan kuantor. Pada no 4 memang benar demikian, 0 tdk bergantung pada x sehingga berlaku untuk setiap x, tp pada no 5 seakan-akan -x juga tdk bergantung pada x sehingga juga berlaku utk setiap x, dan ini tentu tdk benar. Demikian juga aksioma no 10 hrsnya ditulis kuantor universal dulu baru kuantor eksistensial.

    • Anwar Mutaqin said, on Maret 20, 2010 at 6:53 pm

      O iya ri. Jadi inget waktu sidang thesis, gara-gara ngomongnya seperti no. 5 pak hendra marah-marah.

  3. matematikadasar said, on Maret 29, 2010 at 7:37 am

    0 = 0
    lalu kita ambil dua bilangan a dan b yang keduanya berbeda. karena 0 dikali berapapun nilainya tetap nol, sehingga bisa aja kalo kita menulis.
    0.a = 0.b
    “misal ada 1/0 sebagai identitas kali dari bilangan 0”
    (0. 1/0) a = (0. 1/0). b
    1. a = 1.b
    a = b

    terjadi kontradiksi, karena disebutkan di awal bahwa a tidak sama dengan b.
    dengan kata lain pemisalan bahwa 1/0 ada itu salah , so: 1/0 tidak ada (sebagian ada yang menyebutnya tidak memiliki arti atau tidak terdefinisi)

  4. matematikadasar said, on Maret 29, 2010 at 7:51 am

    maaf ada kesalahan ketik pada :
    “misal ada 1/0 sebagai identitas kali dari bilangan 0”, seharusnya

    “misal ada 1/0 sebagai invers kali dari bilangan 0″

  5. hervind said, on April 21, 2010 at 4:11 pm

    mau tanya
    /frac{x}{y}=xy^{-1}

    jika x=1 y=0
    jadi y^{-1} berapa ya ??? apakah hasilnya tak terdefinisi ???

    sehingga 1 x tak terdefinisi = tak terdifinisi juga

    tolong bahas 0/0 donk
    thx

  6. hervind said, on April 21, 2010 at 4:13 pm

    maaf yg latex itu salah ketik
    seharusnya x/y = xy^-1

  7. nayla said, on April 28, 2010 at 12:24 am

    di bukunya bartle tidak ada teorema “a, b, c bil Real, jika a = b maka a + c = b + c” ini perlu dibuktikan tidak ya? apa langsung bisa di pakai? kalau dibuktikan bagaimana buktinya (kan sudah jelas) ?

    ***
    bagaimana membuktikan (-1).(-1) = 1

    trims

    • Anwar Mutaqin said, on April 28, 2010 at 10:18 am

      mungkin buktinya begini,
      Andaikan a+b \neq b+c , maka (a+b)+(-(b+c)) \neq 0 . (ingat di aksioma ada a+(-a)=0 untuk setiap a).
      Gunakan sifat asosiatif, maka didapat a+(b+(-b))+(-c) \neq 0 (di sini hrs dibuktikan juga bahwa -(b+c)=(-b)+(-c), buktinya mudah kok) atau a+(-c) \neq 0 . Ini berarti a \neq c .
      Untuk (-1)(-1)=1 rasanya ada di buku bartle.

      • Anwar Mutaqin said, on April 28, 2010 at 10:20 am

        hal ini berarti kontradiksi dgn hipotesis a=b. jadi terbukti.

  8. amelia said, on Mei 26, 2010 at 4:53 am

    aq maw tanya nih,jika a<a<b maka a<[(a+b)/2]0, b>0, a<b

    • Anwar Mutaqin said, on Juni 9, 2010 at 5:43 am

      maaf pertanyaanya tidak jelas.

  9. firman said, on Oktober 8, 2011 at 1:21 am

    tolong kash tau please bro pengertian,aksioma lapangan,urutan,dan kelengkapan.,tlong bntuannya

    • anwar mutaqin said, on Desember 6, 2011 at 8:34 am

      Ada lebih dari satu cara untuk mengkonstruksi bilangan real, salah satunya adalah bilangan yang memenuhi aksioma lapangan, aksioma urutan, dan aksioma kelengkapan. Aksioma bisanya diartikan sebagai pernyataan matematika yang kebenarannya sudah disepakati. Aksioma lapangan sudah saya tuliskan di atas. Aksioma lapangan mengatur sifat tertutup, asosiatif, komutatif, identitas, dan invers pada operasi penjumlahan dan pengurangan serta kemunculan bilangan 0 dan 1. Aksioma urutan mengatakan begini:
      Terdapat subset tak kosong dari himpunan bilangan Real (kita sebut saja P, yaitu himpunan bilangan real positif) sehingga memenuhi: 1) Jika a dan b elemen P, maka a+b dan a.b elemen P, 2) Jika a elemen real, maka hanya satu dari pernyataan berikut yang berlaku; a elemen p, a=0, atau -a elemen P. Aksioma urutan mengatur kemunculan bilangan positif dan negatif serta letak bilangan pada garis bilangan
      Aksioma Kelengkapan mengatakan begini: Setiap subset tak kosong dari himpunan bilangan real yang terbatas di atas mempunyai supremum.
      Lebih jelasnya mungkin bisa baca buku-buku pengantar analisis real.

  10. msihabudin said, on Oktober 10, 2011 at 7:43 pm

    dan tentu saja akibatnya, 5/0 juga kita buang saja.. dan a/0 juga kita buang saja.. .

    • anwar mutaqin said, on Desember 6, 2011 at 8:34 am

      benar.

  11. DK said, on Oktober 27, 2011 at 3:47 pm

    Maaf pak mw tny, apkh 1/~ = 0 sbnr’y bpk tlh mnyangkal kalau salah pd pertemuan dkls tp sy msh bingung. mengapa pd konsep limit yg batas’y mendekati tak hingga Nilai a/~ sebanding dengan 0 ? Mhn bimbingan’y.

    • anwar mutaqin said, on Desember 6, 2011 at 8:54 am

      ~ adalah konsep untuk menyatakan suatu fungsi atau barisan membesar tanpa batas. Contoh \lim n = \infty atau \lim \limits_{x to 0} \frac{1}{x^2} = \infty . Di himpunan bilangan real, jelas ~ bukan bilangan jadi tidak bisa dioperasikan, tetapi jika himpunan bilangan real diperluas dengan menambahkan di ujung kiri dengan -~ dan ujung kanan dengan ~, maka operasi di atas bisa diijinkan.

      • anwar mutaqin said, on Desember 6, 2011 at 9:04 am

        maksudnya \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty

  12. radit said, on November 24, 2011 at 1:22 am

    mas tolong dong jelaskan apa perbedaan dari : “tak terdefinisi”, “tak hingga”, “tak tentu”. definisi sekalian simbol yang membedakannya. bingung sangat mas, tolong balas secepatnya ya🙂

    • anwar mutaqin said, on Desember 6, 2011 at 9:01 am

      tak hingga lambangnya ~ atau \infty , sudah saya jelaskan di komentarnya DK. tak terdefinisi tidak ada lambangnya, seperti 1/0 tak terdefinisi atau 1/0 tidak ada. Mengapa tidak didefinisikan? sprt yang sudah saya jelaskan, kalau didefinisikan merusak bangunan matematika. Tak tentu berarti suatu operasi dalam aljabar yang hasilnya berapa pun benar, contohnya 0/0 atau 0^0 . Perhatikan 0/0=1 benar, 0/0=10 juga benar atau secara umum 0/0=a untuk semua a bilangan Real. Ini juga tidak ada lambangnya (atau saya tidak tahu lambangnya), cukup ditulis bentuk tak tentu.

  13. Abdulloh said, on Agustus 29, 2012 at 5:06 am

    senangnya lihat orang2 pandai saling berargumen…🙂


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: