Matematika

Ketunggalan o dan 1

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 21, 2010

Kita yang sudah pernah belajar analisis real, kalkulus atau matematika secara umum pasti mengenal dengan baik bahwa 0 adalah identitas pada operasi penjumlahan, sedangkan 1 adalah identitas pada operasi perkalian bilangan. Namun, adakah yang pernah bertanya, apakah hanya 0 yang mempunyai sifat x+0=0? Apakah hanya 1 yang mempunyai sifat x.1=x? Tulisan ini akan menjawab dua pertanyaan tersebut. Ah kelihatannya persoalan sepele. Tapi tidak apa-apalah mudah-mudah bermanfaat atau sekedar senam otak saja.

Menjawab dua pertanyaan di atas ternyata perlu belajar analisis real, setidaknya untuk saya. Pertanyaan ini juga pernah saya tanyakan di ruang kuliah, dan mereka terheran-heran dengan kenyataan bahwa pertanyaan itu harus dijawab dan jawabannya harus dibuktikan pula. Untuk itu harus diingat aksioma bilangan real, bisa dilihat di postingan sebelumnya.

Kita mulai dengan membuktikan bahwa bilangan o adalah tunggal. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja o’, sedemikian sehingga x+o’=x untuk setiap x, dan 0' \neq 0 . Akibatnya 0+0’=0, karena 0′ adalah identitas pada penjumlahan. Tetapi, o+o’=0′ karena 0 juga identitas pada penjumlahan. Hal ini berarti 0’=0+0’=0, atau 0=0′. Ini menunjukkan bahwa o tunggal.

BuktiĀ  bilangan 1 adalah tunggal serupa dengan sebelumnya. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja 1′, sedemikian sehingga x.1’=x untuk setiap x, dan 1' \neq 1 . Akibatnya 1.1’=1, karena 1′ adalah identitas pada perkalian. Tetapi, 1+1’=1′ karena 1 juga identitas pada perkalian. Hal ini berarti 1’=1.1’=1, atau 1=1′. Ini menunjukkan bahwa 1 tunggal.

Dan ternyata jawabannya adalah ya. Hal ini berarti 0 dan 1 bersifat tunggal. Tidak ada bilangan lain yang menyamai 0 dan 1 dalam sifat identitas.

Iklan
Tagged with: , ,