Matematika

Ketunggalan o dan 1

Posted in Analisis Real, Mata Kuliah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 21, 2010

Kita yang sudah pernah belajar analisis real, kalkulus atau matematika secara umum pasti mengenal dengan baik bahwa 0 adalah identitas pada operasi penjumlahan, sedangkan 1 adalah identitas pada operasi perkalian bilangan. Namun, adakah yang pernah bertanya, apakah hanya 0 yang mempunyai sifat x+0=0? Apakah hanya 1 yang mempunyai sifat x.1=x? Tulisan ini akan menjawab dua pertanyaan tersebut. Ah kelihatannya persoalan sepele. Tapi tidak apa-apalah mudah-mudah bermanfaat atau sekedar senam otak saja.

Menjawab dua pertanyaan di atas ternyata perlu belajar analisis real, setidaknya untuk saya. Pertanyaan ini juga pernah saya tanyakan di ruang kuliah, dan mereka terheran-heran dengan kenyataan bahwa pertanyaan itu harus dijawab dan jawabannya harus dibuktikan pula. Untuk itu harus diingat aksioma bilangan real, bisa dilihat di postingan sebelumnya.

Kita mulai dengan membuktikan bahwa bilangan o adalah tunggal. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja o’, sedemikian sehingga x+o’=x untuk setiap x, dan 0' \neq 0 . Akibatnya 0+0’=0, karena 0′ adalah identitas pada penjumlahan. Tetapi, o+o’=0′ karena 0 juga identitas pada penjumlahan. Hal ini berarti 0’=0+0’=0, atau 0=0′. Ini menunjukkan bahwa o tunggal.

Bukti  bilangan 1 adalah tunggal serupa dengan sebelumnya. Andaikan ada bilangan lain, kita sebut saja 1′, sedemikian sehingga x.1’=x untuk setiap x, dan 1' \neq 1 . Akibatnya 1.1’=1, karena 1′ adalah identitas pada perkalian. Tetapi, 1+1’=1′ karena 1 juga identitas pada perkalian. Hal ini berarti 1’=1.1’=1, atau 1=1′. Ini menunjukkan bahwa 1 tunggal.

Dan ternyata jawabannya adalah ya. Hal ini berarti 0 dan 1 bersifat tunggal. Tidak ada bilangan lain yang menyamai 0 dan 1 dalam sifat identitas.

Tagged with: , ,

5 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. msihabudin said, on Oktober 10, 2011 at 7:36 pm

    itu pada judulnya bukan nol ya? tapi huruf o.. iseng ajah.. .hehe

  2. dhani said, on Maret 21, 2012 at 3:19 am

    bagaimana membuktikan jika a tidak sama dengan 0 sehingga 1/a tidak sama dengan 0 dan 1/1/a = a ????

    • Anwar Mutaqin said, on April 26, 2012 at 7:40 am

      itu di buku analisis realnya Bartle juga ada. Cara nya gini, andaikan a = 0 tetapi \frac{1}{a} = 0 , maka \frac{1}{a}.a = 0 menurut teorema (ingat a.0=0 untuk setiap a). Tetapi berdasarkan aksioma \frac{1}{a}.a = 1 . Ini artinya 0 = 1. Jelas kontradiksi karena menurut aksioma 0 dan 1 itu tidak sama. Untuk yang kedua pake ini aja \frac{1}{x}.x = 1 untuk x tak nol. Nanti tinggal ganti aja x dengan \frac{1}{a} .

  3. Abdulloh said, on Agustus 29, 2012 at 5:03 am

    hehe
    kog bingung ya…

    • Anwar Mutaqin said, on September 26, 2012 at 7:43 am

      Itu namanya bukti dengan kontradiksi, jadi negasi dari pernyataan yang akan dibuktikan diandaikan benar. Analisis lebih lanjut akan didapatkan kontradiksi, sehingga pengandaian salah. Pada langkah awal ada yang salah, mestinya andaikan a \neq 0 , tetapi \frac{1}{a}=0 dan seterusnya…


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: