Matematika

Ketaksamaan Cauchy dan Rumus Korelasi

Posted in Analisis Real by Anwar Mutaqin on Desember 27, 2010

Misalkan kita mempunyai dua buah vektor, yaitu {\bf x} =\left ( x_1, x_2, \cdots, x_n \right ) dan {\bf y} =\left ( y_1, y_2, \cdots, y_n \right ) , maka sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah

\cos\theta= \frac{\bf x.\bf y}{\|x\|.\|y\|}

dengan \bf x.\bf y= \sum \limits_{i=1}^{n} x_iy_i (perkalian titik dari dua buah vektor) dan \|x\|= \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2}   (panjang vektor).

Rumus tersebut didapat dari aturan cosinus seperti yang dipelajari waktu SMA

\|\bf x+ \bf y\|^2=\|\bf x \|^2 + \|\bf y \|^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\sum \limits_{i=1}^{n}\left (x_i + y_i \right )^2 = \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2 \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}y_{i} = \sum \limits_{i=1}^{n} x_i^2 + \sum \limits_{i=1}^{n} y_i^2 + 2\|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta

\bf x.\bf y = \|\bf x \| \|\bf y \| \cos\theta .

Kita juga mengetahui bahwa |\cos\theta| \leq 1 , sehingga

\frac{| \bf x.\bf y |}{\|x\|.\|y\|} \leq 1 ,

atau bisa ditulis | \bf x.\bf y | \leq \|x\|.\|y\| . Ketaksamaan terakhir ini disebut ketaksamaan Cauchy.

Ahli statistika menggunakan rumus sudut yang dibentuk dua vektor tersebut untuk mencari korelasi dua buah data. Data yang dikumpulkan dianggap sebagai vektor. Jika pengamatan dilakukan terhadap 40 orang, maka data yang terbentuk adalah vektor berdimensi 40. Namun dulu saya bingung mengapa rumus nya bukan

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} x_iy_i}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}}x_i^2 \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n}}y_i^2} ?

tetapi

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right ) \left (y_i- \bar y \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (y_i- \bar y \right )^2}} .

Setelah ditelusuri lebih lanjut, ternyata data tersebut dibuat angka baku sebelum dicari korelasinya. Hal ini dilakukan untuk menghilangkan satuan. Jadi setiap datum dikurangi dengan rata-ratanya dan dibagi dengan simpangan baku. Lebih jelasnya datum menjadi

\frac {x_i- \bar x }{\sigma_x} dan \frac {y_i- \bar y }{\sigma_y}

Kemudian untuk mencari korelasi digunakan rumus di atas, yaitu

r  =\frac {\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {x_i- \bar x}{\sigma_x} \right ) \left ( \frac {y_i- \bar y}{\sigma_y} \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {x_i- \bar x}{\sigma_x} \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left ( \frac {y_i- \bar y}{\sigma_y} \right )^2}}

Disederhanakan menjadi

r = \frac{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i- \bar x \right )  \left (y_i- \bar y \right )}{\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (x_i-  \bar x \right )^2} \sqrt{\sum \limits_{i=1}^{n} \left (y_i- \bar y  \right )^2}}

Dari sini jelaslah bahwa -1 \leq r \leq 1 . Rumus korelasi di atas berlaku untuk data yang berbentuk interval atau rasio.

6 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. widy said, on April 6, 2011 at 5:16 am

    kang, boleh minta handout analisis kompleksnya g? ? ?
    mau ikud olimpiade neh

  2. widy said, on April 6, 2011 at 5:17 am

    kang, boleh minta handout analisis kompleksnya g? ? ?
    mau ikud olimpiade neh
    bles ya
    bleh kirim d email

  3. anwar mutaqin said, on April 8, 2011 at 1:09 pm

    kirim aja alamat emailnya ke email saya (warmt96@yahoo.co.id), nnt saya kasih buku2 kompleks.

  4. budimathbadai said, on Agustus 11, 2011 at 1:54 am

    mas…iki diriku loh..budi from medan…arek minta buku2 analisis kompleks…susah banget yo mas matkul ini…plez donk mas krm ke email sy…gratis kan mas……plez yo mas…(budi.mathbadai@gmail.com)

  5. Lia said, on Mei 2, 2012 at 1:29 am

    Mas, Q jg donk dikirimi email Buku2 analisis kompleks cZ itu mata kliah yg paling sulit bWt Q.. (lia_jum@yahoo.com).. lia from makassar, boleh ya mas????


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: