Matematika

Paradoks Russell

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on November 2, 2012

Alkisah, hiduplah seorang tukang cukur di suatu kampung. Tukang cukur itu bernadzar, ” Saya akan mencukur semua orang di kampung ini yang tidak mencukur rambutnya sendiri”. Kemudian ia melaksanakan nadzarnya dengan mencukur semua orang yang tinggal di kampungnya tersebut. Ini tidak menimbulkan masalah, karena jika penduduk kampung itu mencukur rambutnya sendiri, maka tukang cukur itu tidak perlu mencukur rambut penduduk tersebut, tetapi jika seorang penduduk tidak mencukur rambutnya sendiri, maka tukang cukur itu yang akan mencukurkan rambutnya.

Masalah muncul ketika tukang cukur tersebut ingat bahwa dirinya juga adalah warga kampung itu, sehingga ia harus mencukur rambutnya sendiri. Tetapi, sesuai dengan nadzarnya, jika ia mencukur rambutnya sendiri, maka ia tidak boleh mencukur rambutnya dan jika ia tidak mencukur rambutnya, maka ia harus mencukur rambutnya sendiri. Nah, bingung kan apa yang harus dilakukan oleh tukang cukur tersebut?

Kisah di atas dikenal dengan paradoks Russell. Nama lengkapnya Bertrand Russell, seorang matematikawan, filsuf, dan pendiri filsafat analitik. Dalam konteks matematika, kisah tukang cukur di atas dapat digambarkan sebagai berikut: Misalkan kita mendefinisikan A adalah himpunan hewan berkaki empat, maka anggota-anggota A adalah kambing, sapi, jerapah, onta, dan lain-lain. Himpunan A sendiri jelas bukan hewan berkaki empat, sehingga A bukan anggota A. Jika kita definisikan himpunan M dengan syarat keanggotaan semua hal yang dipikirkan manusia, maka anggotanya beragam, termasuk M sendiri adalah anggota M karena M juga merupakan hal yang dipikirkan manusia. Dengan demikian, ada himpunan yang dirinya bukan anggota himpunan, seperti himpunan A di atas, dan ada juga himpunan yang dirinya sendiri menjadi anggota himpunan tersebut, seperti himpunan M tadi.

Selanjutnya, definisikan M sebagai kumpulan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sebagai anggota. Nah, kontradiksi akan muncul di sini terkait dengan keanggotaan M dalam himpunan M. Jika M tidak memuat M sebagai anggota, maka M adalah anggota dari M, tetapi jika M anggota dari M, maka M harus dikeluarkan dari M berdasarkan syarat keanggotaan M. Ini berarti M \in M jika dan hanya jika M \notin M . Ini merupakan suatu kontradiksi yang menyesakkan.

Paradoks di atas bermulanya dari usaha Frege, Whitehead, Russell, dan teman-temannya untuk menjawab pertanyaan tentang apa sih hakikat matematika (fondasi matematika). Matematika telah berkembang pesat dan banyak cabang-cabang baru. Pertanyaannya adalah, apa yang menyatukan cabang-cabang tersebut? Russell, dkk. mengajukan LOGIKA-lah yang menyatukan cabang-cabang itu. Dengan kata lain, setiap pernyataan matematika dapat dipandang sebagai pernyataan LOGIKA yang dapat dinilai benar atau salah. Aliran ini dalam fondasi matematika disebut logisisme. Paradoks di atas menggagalkan usaha tersebut. Logika memang diperlukan dalam matematika, tetapi mereduksi matematika menjadi hanya sekedar logika menimbulkan kontradiksi seperti telah diceritakan di atas. Dengan demikian proyek logisisme gagal total.

Sekarang kembali kepada kisah tukang cukur. Tidak diceritakan sampai kapan tukang cukur itu bingung dan apa keputusan yang diambil. Pertanyaannya adalah, bagaimana kelaur dari kontradiksi seperti itu? Jelas logika tidak mampu menjawab. Nah, saya punya solusi untuk masalah tukang cukur di atas berdasarkan ajaran Agama Islam. Dia bernadzar seperti yang telah di sebutkan di atas, dan kemudian menimbulkan kebingungan tersendiri. Oleh karena itu, untuk keluar dari kebingungan tersebut, dia bisa membatalkan nadzarnya dengan puasa 3 hari menurut ajaran Agama Islam. Jadi, dia ga perlu bingungkan? (hehe, paragraf ini hanya becanda aja, tp untuk membatalkan nadzar cukup puasa 3 hari memang ajaran Islam).

6 Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. anom said, on November 8, 2012 at 5:36 am

    hahahha..lucu pak, terutama bagian terakhir

  2. muhtajin said, on Desember 14, 2012 at 1:30 am

    Hwaduuuuh…. saya sampai ngakak pak baca paragraf terakhir…

  3. Agus Maulani said, on Desember 14, 2012 at 1:45 am

    Good, good, Bpk. Dosen

  4. Indra Herdiana said, on Juli 3, 2015 at 6:33 am

    Tapi, si tukang cukur ini boleh kan mencukur rambut penduduk yang sudah mencukur dirinya sendiri?🙂

    ”Saya akan mencukur semua orang di kampung ini yang tidak mencukur rambutnya sendiri” tidak berarti ”Saya tidak mencukur semua orang di kampung ini yang mencukur rambutnya sendiri”.

    Mohon koreksinya.🙂

    • Anwar Mutaqin said, on Juli 8, 2015 at 3:33 pm

      sesuai janjinya, tentu saja tukang cukur tdk boleh mencukur orang yang mencukur rambutnya sendiri. kalimat terakhir Anda itu ya sesuai dengan janji tukang cukur.


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: