Matematika

Sifat Archimides

Posted in Analisis Real by Anwar Mutaqin on November 7, 2012

Salah satu sifat bilangan real yang penting adalah sifat Archimides. Penting karena banyak aplikasinya dalam matematika sendiri, misalnya pada teori ukuran, konstruksi bilangan hyperreal, mencari supremum atau infimum himpunan diskrit, dan lain-lain. Sifat Archimides mengatakan demikian,

Untuk setiap x \in R terdapat n_x \in N sedemikian sehingga n_x > x .

Menurut saya sifat ini agak aneh meskipun mudah dilihat kebenarannya. Tetapi jika dibalik pun rasanya masuk akal, yaitu untuk setiap bilangan asli terdapat bilangan real yang lebih besar dari bilangan asli tersebut. Cuma pernyataan yang terakhir tidak tahu cara membuktikannya.

Bukti Sifat Archimides:

Andaikan pernyataan di atas salah, artinya terdapat  x_0 \in R sedemikian sehingga x_0>n untuk setiap n \in N . Ini berarti x_0 adalah batas atas himpunan N . Karena N terbatas di atas, maka menurut aksioma kelengkapan, himpunan N mempunyai supremum. Misal u = \sup N . Jelas bahwa u-1<u , sehingga menurut definisi batas atas suatu himpunan terdapat m \in N sedemikian sehingga u-1<m , atau m+1>u . Padahal m+1 \in N . Hal ini kontradiksi dengan fakta bahwa u adalah supremum himpunan N .

Salah satu akibat sifat Archimides adalah

Untuk setiap 0 < x \in R terdapat n \in N sedemikian sehingga 0 < \frac{1}{n} < x .

Sifat di atas dapat dipakai untuk membuktikan bahwa \inf \{ \frac{1}{n} : n \in N\} =0 . Caranya begini: Jelas bahwa 0< \frac{1}{n} untuk setiap n \in N . Ini artinya 0 adalah batas bawah himpunan S = \{ \frac{1}{n} : n \in N\} . Dengan demikian, himpunan S dijamin mempunyai infimum. Tidak mungkin u = \inf S < 0 karena 0 adalah batas bawah S. Andaikan u > 0, maka menurut akibat dari sifat Archimides, terdapat n_0 \in N sehingga \frac{1}{n} < u . Ini berarti terdapat anggota S yang lebih kecil dari u. Hal ini bertentangan dengan asumsi u adalah batas bawah (atau infimum) S. Jadi menurut sifat trikotomi haruslah u = \inf S = 0 .

Satu Tanggapan

Subscribe to comments with RSS.

  1. j4uharry said, on November 7, 2012 at 11:43 pm

    TFS


Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: