Matematika

Dasar-Dasar Pengetahuan Deduktif

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on September 27, 2013

Kita sering mendengar dan membaca bahwa matematika adalah pengetahuan yang disusun berdasarkan penalaran deduktif. Bahkan menurut Bloch (2000: 56), Semua cabang-cabang matematika murni sampai saat ini disusun dalam sistem aksiomatik deduktif. Bekerja dalam sistem aksiomatik deduktif melibatkan konstruksi bukti secara ketat untuk menghasilkan pengetahuan matematika yang baru. Nah, sebetulnya seperti apa sistem aksiomatik deduktif tersebut dan teori apa yang mendasarinya?

Konsep pengetahuan deduktif menurut Aristoteles adalah suatu teori T yang terdiri atas himpunan pernyataan yang memenuhi postulat-postulat berikut:

  1. Setiap pernyataan dari T memuat unsur-unsur domain tertentu dari dunia nyata. (Postulat realitas).
  2. Setiap pernyataan dari T mempunyai nilai benar. (Postulat kebenaran)
  3. Apabila sejumlah pernyataan berada dalam T, maka setiap konsekuensi logika dari pernyataan-pernyataan tersebut harus berada dalam T juga. (Postulat deduktivitas)
  4. Sejumlah unsur dari T yang berhingga banyaknya mempunyai sifat berikut. a) arti unsur-unsur tersebut dapat langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita dan tidak perlu diterangkan lebih lanjut, a) setiap unsur dari T lainnya harus didefinisikan, yaitu harus dapat dikembalikan pada, dan dinyatakan dengan unsur-uunsur tersebut dalam pernyataan 4.a.
  5. Sejumlah pernyataan dari T yang berhingga banyaknya mempunyai sifat berikut; a) kebenaran pernyataan-pernyataan tersebut langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita dan tidak memerlukan bukti, b) kebenaran dari pernyataan T lainnya didasarkan atas dan diturunkan dari pernyataan-pernyataan dalam pernyataan 5.a dengan menggunakan inferensi logika.

Postulat 4.a dan 5.a  disebut postulat evidensi, sedangkan pernyataan-pernyataan dari unsur-unsur pokok pada 4 dan 5 bersama-sama disebut prinsip-prinsip dari pengetahuan T di atas. Adapun alat yang diperkenankan untuk digunakan dalam inferensi logika adalah logika formal semata.

Lahir dan berkembangnya suatu pengetahuan deduktif melalui beberapa tahap. Tahap pertama adalah pengumpulan sejumlah fakta melalui trial dan error. Tahap ini disebut pra-saintifik. Setelah terkumpul sejumlah fakta, maka diadakan pengorganisasian. Pada tahap ini dipilih, secara cermat, sejumlah unsur dan pernyataan pokok yang evident, yaitu arti dan kebenarannya langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita. Pernyataan pokok dinamakan aksioma atau postulat (untuk sementara, aksioma dan postulat dianggap sama).

Makna teori di atas adalah, apabila orang hendak mendefinisikan suatu unsur, maka harus digunakan unsur-unsur lainnya yang sudah dikenal. Yang terakhir ini pun harus definisikan, dan agar tidak terjadi definisi yang berlingkar, harus digunakan unsur-unsur yang lainnya lagi. Namun, proses demikian tidak dapat dilaksanakan terus-menerus. Jika situasi ini hendak dihindari, pada suatu waktu orang harus berhenti mendefinisikan. Nah, di sinilah perlunya unsur pokok. Jadi, unsur pokok diperlukan agar kita tidak berputar-putar dalam mendefinisikan suatu unsur. Dalam geometri, unsur pokok tersebut di antaranya: titik, garis, dan bidang. Kita tidak perlu lagi bertanya apa definisi titik, garis, dan bidang. Contoh lain, kita bisa bertanya, apa definisi persamaan? Mungkin akan dijawab, persamaan adalah pernyataan terbuka yang memuat tanda “sama dengan”. Kemudian dilanjutkan, apa definisi kalimat terbuka? Mungkin akan dijawab, kalimat yang belum dipastikan benar atau salahnya. Sampai di sini kita tidak lagi perlu bertanya definisi kalimat, “sama dengan”, dan benar.

Situasi berkenaan dengan pernyataan-pernyataan  dari teori T adalah analog. Pada suatu waktu orang harus berhenti pada pernyataan-pernyataan yang tidak dibuktikan lagi. Namun, memang tidak diperlukan bukti karena evidensi kebenarannya dijamin oleh intuisi kita, baik intuisi geometri, intuisi aritmetika (Aksioma-Aksioma Peano), intuisi etika (Spinoza) dan lain-lain, jika pengetahuan yang bersangkutan dikemas dalam suatu teori semacam T. Beberapa contoh aksioma di antaranya: Aksioma Euclides tentang geometri, Aksioma lapangan bilangan real. dan Aksioma kelengkapan bilangan real.

Pengorganisasian dalam teori deduktif demikian, diperoleh insight akan interdependensi dari teorema-teorema teori T. Keuntungan lain dari prosedur deduktif suatu ilmu adalah jika kita meragukan kebenaran suatu teorema karena tidak sesuai dengan suatu pengalaman tertentu dalam dunia real, maka penelitian dapat dikembalikan pada aksioma-aksioma yang jumlahnya sedikit itu. Hal ini karena teorema tersebut diturunkan dari pernyataan-pernyataan pokok (aksioma-aksioma) dengan logika formal. Di sini terlihat pentingnya intuisi logika sebagai sumber penalaran dibandingkan intuisi jenis lain karena logika dapat digunakan di setiap teori T tanpa memperhatikan subject matter dari T.

Dengan latar belakang di atas, 25 tahun setelah Aristoteles, Euclides membangun geometri sebagai pengetahuan deduktif tentang ruang di mana kita hidup. Pernyataan-pernyataan pokoknya, yang disebut aksioma dan postulat dipilih dengan cermat dan menyajikan sifat-sifat paling sederhana dari unsur-unsur dari ruangan yang langsung dapat ditangkap oleh pikiran. Dengan kata lain, aksioma-aksioma Euclides dimaksud sebagai self evident truth. Demikian juga teorema-teoremanya dimaksud sebagai pernyataan-pernyataan yang benar tentang unsur-unsur dari dunia nyata. Segala sesuatu sesuai dengan postulat realitas, postulat kebenaran, dan lain-lain postulat dari teori sain deduktif yang diciptakan oleh Aristoteles.

Seperti diketahui oleh matematikawan, dalam perkembangan aksiomatika selanjutnya, unsur-unsur primitif dikosongkan dari arti sehingga aksioma-aksiomanya bukan lagi merupakan self evident truth, melainkan berubah menjadi kesepakatan belaka. Dengan cara demikian didapat teori-teori aljabar abstrak, topologi, dan lain-lain.

Uraian tentang syarat-syarat sebuah pernyataan dijadikan aksioma, akan disajikan pada tulisan berikutnya.

Disarikan dari Tulisan Soehakso, 1998. Kedudukan logika pada bangunan ilmu matematika dan sains serta peranannya dalam riset dan dalam pendidikan. Dalam Sumaji, dkk. Pendidikan Sains yang Humanistis.

Bloch, E.D. (2000). Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics. Boston: Birkhauser.

Tagged with: , ,

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: