Matematika

Masalah Warisan

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Januari 27, 2015

Pada tulisan di Harian Kompas, Pak Liek Wilardjo mengeluhkan lemahnya penguasaan logika di kalangan siswa, bahkan mahasiswa S3. Salah satu buktinya, Paul Suparno mengajukan pertanyaan logika di hadapan mahasiswa S3, dan mereka kesulitan menjawab soal ini

Seorang ayah mewariskan 17 ekor unta kepada ketiga anaknya dengan ketentuan bahwa tidak boleh ada unta yang dijual atau disembelih. Anak sulungnya mendapatkan separuh, anak kedua mendapatkan sepertiga, dan anak bungsunya sepersembilan. Karena amanah itu tak dapat dipenuhi, paman ketiga bersaudara itu membantu mereka dengan memberikan seekor untanya. Maka, si sulung menerima sembilan ekor unta, adiknya enam ekor, dan si bungsu kebagian dua ekor. Seekor lagi dikembalikan kepada paman mereka. Pertanyaannya, (1) tinjaulah soal ini secara logika, dan (2) benarkah kalau dikatakan bahwa “realitas ialah unta yang ke-18”?

Saya tidak tahu cara menjawab pertanyaan logika tersebut. Saya mendapatkan cerita semacam itu ketika sekolah di SMA, bahkan jadi bahan candaan di antara teman-teman. Hanya pertanyaan yang diajukan adalah bagaimana cara membagi warisan tersebut. Kami memang tidak bisa menjelaskan mengapa solusinya bisa seperti yang disebutkan, hanya kagum dengan cara penyelesaian masalah warisan tersebut.

Saya merasa masalah yang diajukan Pak Paul Suparno mirip dengan paradoks Zeno, pelik secara logika namun mudah jika kita gunakan konsep Matematika.

Seperti halnya paradoks Zeno, masalah pembagian warisan di atas dapat diselesaikan dengan konsep deret geometri. Pertama, Anak sulung mendapat \frac{1}{2} bagian, anak kedua mendapat \frac{1}{3} bagian, dan anak bungsu mendapat \frac{1}{9} bagian. Dari pembagian ini, kita dapatkan total \frac{17}{18} , artinya masih tersisa \frac{1}{18} . Bagian \frac{1}{18} ini dibagikan lagi kepada seluruh anak dengan proporsi sesuai wasiat. Maka masing-masing anak mendapat tambahan \frac{1}{36} , \frac{1}{54} , dan \frac{1}{162} . Pembagian tahap kedua tersebut menyisakan \frac{1}{324} bagian. Jika pembagian ini dilakukan terus menerus, maka:

Anak sulung mendapat \frac{1}{2} + \frac{1}{2}. \frac{1}{18} + \frac{1}{2}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak kedua mendapat \frac{1}{3} + \frac{1}{3}. \frac{1}{18} + \frac{1}{3}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak bungsu mendapat \frac{1}{9} + \frac{1}{9}. \frac{1}{18} + \frac{1}{9}. \frac{1}{324} + \cdots

masing-masing anak membentuk deret geometri dengan rasio \frac{1}{18} , dengan suku pertama masing-masing \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , dan \frac{1}{9} . Dengan rumus deret geometri seperti yang telah dipelajari anak SMA atau sederajat di kelas 3, maka bagian masing-masing anak adalah \frac{9}{17} , \frac{6}{17} , dan \frac{2}{17} . Dengan demikian, jatah unta masing-masing anak-anak adalah 9, 6, dan 2 ekor. Sama persis dengan pembagian telah dilakukan.

Jadi pertanyaan kedua dari Pak Liek Wilardjo bisa kita jawab (dengan cara orang awam) bahwa unta ke -18 tidak ada, atau dengan kata lain tidak perlu pinjam satu unta untuk membagi warisan tersebut.

Tagged with: , ,

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: