Matematika

Cerita seputar Limit Fungsi

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Mei 30, 2015

Penggalan Surat Al Qof ayat 6

.ونحن اقرب اليه من حبل الوريد  …

… dan kami lebih dekat kepadanya daripada urat lehernya.

Pertanyaannya, apa maksudnya “lebih dekat”? Seberapa dekat yang disebut dekat tersebut?

Salah satu penafsiran ayat tersebut, yang dimaksud adalah kedekatan malaikat karena selalu mengawasi manusia. Argumennya karena menggunakan kata nahnu yg artinya kami, smntr Allah bersemayang di arsy berdasarkan beberapa ayat.
Di pihak lain yang ekstrim, ayat tersebut memunculkan ajaran wihdatul wujud, bersatunya manusia dgn sang khalik. Ajaran yg dibawa Ibnu Arabi, Al Halaj, sampai syekh Siti Jennar. Jika ada rekan yang suka dengar lagu Dewa, coba dengerkan lagu yg judulnya SATU. Katanya lagu tersebut  terinspirasi dari ajaran wihdatul wujud.
Tentang tafsir lain, saya tidak banyak tahu, kurang belajar sih.

Nah, saya mau menyoroti dari aspek Matematika (meskipun tidak ahli juga, tapi minimal saya pernah dan sedang belajar Matematika). Pertanyaan tentang pengertian dekat tersebut pernah muncul dalam Matematika. Ceritanya pada saat Newton menemukan/menciptakan teori limit fungsi. Limit adalah dasar dari Kalkulus, bahkan Analisis. Saya pernah baca ada penulis buku Matematika yang mendefinisikan Analisis sebagai kajian tentang limit. Di buku Kalkulus, Newton mendefinisikan limit fungsi sebagai berikut: \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L jika f(x) sangat dekat ke L pada saat x sangat dekat ke-a (x tidak perlu sama dengan a ).

Limit bersama Kalkulus digunakan Newton (salah satunya) untuk menjelaskan laju (kecepatan, percepatan) sesaat. Kalkulus sukses digunakan pada Mekanika Newton dan beberapa teori lainnya. Pokoknya Kalkulus (di dalamnya ada Persamaan Diferensial) sukses dan banyak membantu pada bidang Fisika.

Masalahnya, definisi limit tersebut tidak formal, tidak jelas, atau gampangnya tidak memenuhi standar Matematika. Tidak jelas apa maksudnya cukup dekat, dekat itu sedekat apa? Matematikawan butuh definisi formal yang rigor, jelas, dan tidak mendua arti. Definisi limit fungsi juga menentukan definisi kekontinuan fungsi.

Tentu saja banyak matematikawan yang berusaha merumuskan definisi limit tersebut. Konon, pertanyaan berkait definisi limit merupakan salah satu krisis dalam Fondasi Matematika. Konsep limit banyak dipakai dan sukses, tetapi definisi yang akurat dan memenuhi standar Matematika belum ada.

Pada akhirnya tawaran definisi limit dari Cauchy yang diterima sampai saat ini (ada perbaikan dari Weisstrass juga katanya). Pertanyaan seberapa dekat dijawab dengan definisi \epsilon-\delta . Jadi, seperti yang kita tahu definisi limit sebagai berikut: \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L jika \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \ sedemikian sehingga jika  x \in D_f dan 0<|x-a|<\delta , maka |f(x)-L|<\epsilon .

Katanya sih banyak mahasiswa yang tidak paham definisi tersebut, meskipun bisa mengitung nilai limit. Jika menggunakan kata-kata kira-kira (kira-kira nih ga akurat jg, hehe) begini: Kalo kita buat interval1 di sumbu-y dengan pusat di L dan jari-jari epsilon, maka kita harus bisa membuat interval2 di sumbu-x dgn pusat di a dengan jari2 delta sehingga peta interval2 tanpa a subset dari interval1, seberapa pun kecil epsilon. Oleh karena itu, delta yg dicari mesti bergantung pada epsilon.
Nah, Anda paham penjelasan itu? Ah jangan-jangan makin ribet ya? (Pertanyaan utk anak S1 math atau pend math).

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: