Matematika

TEORI PELUANG DAN LAILATUL QADR

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Juni 28, 2015

Bagaimana cara memenangkan undian kupon berhadiah? Gampang, borong aja semua kuponnya pasti akan menang. Sederhana sekali. Tentu saja orang tidak melakukan hal itu karena biaya yg dikeluarkan utk membeli seluruh kupon jauh lebih besar daripada hadiah yang didapat. Pasti bangkrut. Oleh karena itu, orang mencari cara memenangkan undian atau judi dengan modal yang sedikit untuk dapat hadiah yang besar. Ada yang pergi ke dukun, bertapa di kuburan, dan lain-lain.

Di Eropa, keinginan orang untuk memenangkan judi melahirkan teori peluang seperti yang kita pelajari di sekolah dan di Perguruan Tinggi. Pada mulanya Chevalier de Mere bertanya kepada Blaise Pascal dan Pierre de Fermat tentang cara memenangkan judi, karena Mere lebih sering kalah judi makanya jadi Kere (mirip dgn namanya, hehe). Mulailah Pascal mengerjakan matematika berkaitan dengan pertanyaan tersebut. Saran yang diberikan Pascal kepada Mere pada dasarnya adalah dasar-dasar teori peluang. Fermat mengembangkannya lebih lanjut. Jadi bisa dikatakan Teori peluang lahir di meja judi.

Pada mulanya teori peluang dianggap sebagai ilmu haram. Perkembangan selanjutnya teori peluang banyak membantu dalam bidang sain dan teknologi. Penelitian partikel elementer dan teori kuantum tidak lepas dari peran Teori Peluang. Begitu juga pada teknologi pengenalan wajah, sidik jari, search engine, dan lain-lain teori peluang ditemukan di sana.

Apa hubungannya dengan Lailatul Qadr?

Bulan Ramadhan adalah bulan mulia dan Al Quran turun pertama kali. Di dalamnya ada lailatul qadr yang oleh Allah disebut lebih baik daripada 1000 bulan. Artinya ibadah pada malam tersebut pahalanya setara dengan ibadah 1000 bulan atau sekitar 83 tahun (kalo salah tolong dikoreksi). Setiap muslim sejati pasti mencari saat lailatul qadr. Dalam hadits dikatakan bahwa lailatul qadr itu da di sepuluh ramadhan terakhir pada malam ganjil.

Namun demikian, seperti pertanyaan di bagian awal, bagaimana cara kita mendapatlan lailatul qadr? Gampang, carilah di tiap malam Bulan Ramadhan. Maksudnya, lakukanlah ibadah (qiyamul lail) yang banyak di setiap malam Ramadhan, dijamin pasti mendapatkan lailatul qadr. Tak perlu teori peluang untuk menerka pada malam ke berapa dari Ramdhan berlangsung lailatu qadr.

Pada kasus memenangkan kupon undian tidak mungkin dengan memborong semua kupon karena pasti bangkut. Sementara, untuk mendapatkan lailatul qadr  cari di tiap malam ramadhan, sudah pasti untung besar karena nilai ibadahnya setara 83 tahun. Jauh lebih besar pahala daripada usaha yang diperlukan.

SELAMAT MENJALANKAN IBADAH PUASA

Cerita seputar Limit Fungsi

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Mei 30, 2015

Penggalan Surat Al Qof ayat 6

.ونحن اقرب اليه من حبل الوريد  …

… dan kami lebih dekat kepadanya daripada urat lehernya.

Pertanyaannya, apa maksudnya “lebih dekat”? Seberapa dekat yang disebut dekat tersebut?

Salah satu penafsiran ayat tersebut, yang dimaksud adalah kedekatan malaikat karena selalu mengawasi manusia. Argumennya karena menggunakan kata nahnu yg artinya kami, smntr Allah bersemayang di arsy berdasarkan beberapa ayat.
Di pihak lain yang ekstrim, ayat tersebut memunculkan ajaran wihdatul wujud, bersatunya manusia dgn sang khalik. Ajaran yg dibawa Ibnu Arabi, Al Halaj, sampai syekh Siti Jennar. Jika ada rekan yang suka dengar lagu Dewa, coba dengerkan lagu yg judulnya SATU. Katanya lagu tersebut  terinspirasi dari ajaran wihdatul wujud.
Tentang tafsir lain, saya tidak banyak tahu, kurang belajar sih.

Nah, saya mau menyoroti dari aspek Matematika (meskipun tidak ahli juga, tapi minimal saya pernah dan sedang belajar Matematika). Pertanyaan tentang pengertian dekat tersebut pernah muncul dalam Matematika. Ceritanya pada saat Newton menemukan/menciptakan teori limit fungsi. Limit adalah dasar dari Kalkulus, bahkan Analisis. Saya pernah baca ada penulis buku Matematika yang mendefinisikan Analisis sebagai kajian tentang limit. Di buku Kalkulus, Newton mendefinisikan limit fungsi sebagai berikut: \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L jika f(x) sangat dekat ke L pada saat x sangat dekat ke-a (x tidak perlu sama dengan a ).

Limit bersama Kalkulus digunakan Newton (salah satunya) untuk menjelaskan laju (kecepatan, percepatan) sesaat. Kalkulus sukses digunakan pada Mekanika Newton dan beberapa teori lainnya. Pokoknya Kalkulus (di dalamnya ada Persamaan Diferensial) sukses dan banyak membantu pada bidang Fisika.

Masalahnya, definisi limit tersebut tidak formal, tidak jelas, atau gampangnya tidak memenuhi standar Matematika. Tidak jelas apa maksudnya cukup dekat, dekat itu sedekat apa? Matematikawan butuh definisi formal yang rigor, jelas, dan tidak mendua arti. Definisi limit fungsi juga menentukan definisi kekontinuan fungsi.

Tentu saja banyak matematikawan yang berusaha merumuskan definisi limit tersebut. Konon, pertanyaan berkait definisi limit merupakan salah satu krisis dalam Fondasi Matematika. Konsep limit banyak dipakai dan sukses, tetapi definisi yang akurat dan memenuhi standar Matematika belum ada.

Pada akhirnya tawaran definisi limit dari Cauchy yang diterima sampai saat ini (ada perbaikan dari Weisstrass juga katanya). Pertanyaan seberapa dekat dijawab dengan definisi \epsilon-\delta . Jadi, seperti yang kita tahu definisi limit sebagai berikut: \lim_{x \rightarrow a} f(x) = L jika \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \ sedemikian sehingga jika  x \in D_f dan 0<|x-a|<\delta , maka |f(x)-L|<\epsilon .

Katanya sih banyak mahasiswa yang tidak paham definisi tersebut, meskipun bisa mengitung nilai limit. Jika menggunakan kata-kata kira-kira (kira-kira nih ga akurat jg, hehe) begini: Kalo kita buat interval1 di sumbu-y dengan pusat di L dan jari-jari epsilon, maka kita harus bisa membuat interval2 di sumbu-x dgn pusat di a dengan jari2 delta sehingga peta interval2 tanpa a subset dari interval1, seberapa pun kecil epsilon. Oleh karena itu, delta yg dicari mesti bergantung pada epsilon.
Nah, Anda paham penjelasan itu? Ah jangan-jangan makin ribet ya? (Pertanyaan utk anak S1 math atau pend math).

Masalah Warisan

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Januari 27, 2015

Pada tulisan di Harian Kompas, Pak Liek Wilardjo mengeluhkan lemahnya penguasaan logika di kalangan siswa, bahkan mahasiswa S3. Salah satu buktinya, Paul Suparno mengajukan pertanyaan logika di hadapan mahasiswa S3, dan mereka kesulitan menjawab soal ini

Seorang ayah mewariskan 17 ekor unta kepada ketiga anaknya dengan ketentuan bahwa tidak boleh ada unta yang dijual atau disembelih. Anak sulungnya mendapatkan separuh, anak kedua mendapatkan sepertiga, dan anak bungsunya sepersembilan. Karena amanah itu tak dapat dipenuhi, paman ketiga bersaudara itu membantu mereka dengan memberikan seekor untanya. Maka, si sulung menerima sembilan ekor unta, adiknya enam ekor, dan si bungsu kebagian dua ekor. Seekor lagi dikembalikan kepada paman mereka. Pertanyaannya, (1) tinjaulah soal ini secara logika, dan (2) benarkah kalau dikatakan bahwa “realitas ialah unta yang ke-18”?

Saya tidak tahu cara menjawab pertanyaan logika tersebut. Saya mendapatkan cerita semacam itu ketika sekolah di SMA, bahkan jadi bahan candaan di antara teman-teman. Hanya pertanyaan yang diajukan adalah bagaimana cara membagi warisan tersebut. Kami memang tidak bisa menjelaskan mengapa solusinya bisa seperti yang disebutkan, hanya kagum dengan cara penyelesaian masalah warisan tersebut.

Saya merasa masalah yang diajukan Pak Paul Suparno mirip dengan paradoks Zeno, pelik secara logika namun mudah jika kita gunakan konsep Matematika.

Seperti halnya paradoks Zeno, masalah pembagian warisan di atas dapat diselesaikan dengan konsep deret geometri. Pertama, Anak sulung mendapat \frac{1}{2} bagian, anak kedua mendapat \frac{1}{3} bagian, dan anak bungsu mendapat \frac{1}{9} bagian. Dari pembagian ini, kita dapatkan total \frac{17}{18} , artinya masih tersisa \frac{1}{18} . Bagian \frac{1}{18} ini dibagikan lagi kepada seluruh anak dengan proporsi sesuai wasiat. Maka masing-masing anak mendapat tambahan \frac{1}{36} , \frac{1}{54} , dan \frac{1}{162} . Pembagian tahap kedua tersebut menyisakan \frac{1}{324} bagian. Jika pembagian ini dilakukan terus menerus, maka:

Anak sulung mendapat \frac{1}{2} + \frac{1}{2}. \frac{1}{18} + \frac{1}{2}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak kedua mendapat \frac{1}{3} + \frac{1}{3}. \frac{1}{18} + \frac{1}{3}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak bungsu mendapat \frac{1}{9} + \frac{1}{9}. \frac{1}{18} + \frac{1}{9}. \frac{1}{324} + \cdots

masing-masing anak membentuk deret geometri dengan rasio \frac{1}{18} , dengan suku pertama masing-masing \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , dan \frac{1}{9} . Dengan rumus deret geometri seperti yang telah dipelajari anak SMA atau sederajat di kelas 3, maka bagian masing-masing anak adalah \frac{9}{17} , \frac{6}{17} , dan \frac{2}{17} . Dengan demikian, jatah unta masing-masing anak-anak adalah 9, 6, dan 2 ekor. Sama persis dengan pembagian telah dilakukan.

Jadi pertanyaan kedua dari Pak Liek Wilardjo bisa kita jawab (dengan cara orang awam) bahwa unta ke -18 tidak ada, atau dengan kata lain tidak perlu pinjam satu unta untuk membagi warisan tersebut.

Tagged with: , ,

Paradoks Pembohong

Posted in Uncategorized, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 18, 2010

Kali ini saya ingin menulis tentang nilai kebenaran pernyataan terkenal yang diucapkan oleh Epimenides. Saya memberi judul Paradoks pembohong karena menurut beberapa tulisan yang pernah saya baca, pernyataan Epimenides tidak bisa dinilai kebenarannya. Artinya jika dinilai benar atau salah, maka dua-duanya mengandung kontradiksi.

Epimenides berasal dari Kreta (salah satu pulau di Yunani). Epimenides berkata,”Semua orang Kreta pembohong”. Muncul pertanyaan, apakah Epimenides  mengatakan yang sebenarnya (jujur)? Jika kita jawab ya, maka artinya semua orang Kreta pembohong. Padahal, Epimenides (yang membuat pernyataan tadi) berasal dari Kreta. Ini berarti Epimenides juga seorang pembohong, sehingga pernyataannya tidak bisa dipercaya. Hal ini berarti kontradiksi.

Sebaliknya, jika kita menjawab tidak, maka orang Kreta jujur (tidak bohong). Padahal barusan Epimenides, yang berasal dari Kreta telah berbohong. Hal ini juga merupakan kontradiksi. Demikian penjelasan dari beberapa artikel dan buku yang pernah saya baca, hanya saya tidak bisa menyebutkan judul dan penulisnya karena sudah lama sekali bacanya.

Perhatikan kembali jawaban tidak atas pernyataan Epimenides di atas. Hal ini berarti pernyataan “Semua orang Kreta pembohong” salah, sehingga yang benar adalah kebalikannya (negasi). Kebalikan dari pernyataan Epimenides tersebut adalah “Ada orang Kreta yang jujur (bukan pembohong)”, bukan “semua orang Kreta jujur”. Orang Kreta yang jujur tersebut pastilah bukan Epimenides karena dengan membuat pernyataan di atas, dia telah berbohong.

Dengan demikian sebenarnya pernyataan tersebut jika dijawab tidak, maka tidak ada kontradisksi di dalamnya.

 

 

Tagged with: , ,

Kriteria Kebenaran

Posted in Uncategorized, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Februari 22, 2010

Kita seringkali mendengar orang mengatakan, “kita harus menjunjung tinggi kebenaran”. Kasus terbaru barangkali adalah tindakan Susno Duadji yang bersedia menjadi saksi bagi kasus Antasari. Tindakan ini menuai protes dari pihak kepolisian, lembaga tempat Susno berdinas, bahkan fasilitas yang selama ini dinikmati Susno ikut dicabut. Banyak isu yang beredar berkaitan dengan hal tersebut berkaitan dengan karir Susno di kepolisian. Ketika diwawancara wartawan, Susno mengungkapkan bahwa tindakan yang dilakukannya adalah untuk mengatakan kebenaran. Hal ini tentu dinilai salah oleh lembaga Kepolisian.

Lain halnya yang dilakukan pansus Century, masing-masing fraksi yang ada di pansus tersebut saling berbeda pendapat. Namun demikian mereka tetap mengatakan bahwa yang mereka lakukan adalah mengungkapkan kebenaran. Sampai di sini terlihat bahwa ada perbedaan cara pandang tentang kebenaran. Jika demikian, apa yang dimaksud dengan kebenaran? Apa kriterianya suatu pernyataan atau tindakan dikatakan benar? Tulisan ini berusaha menjawab pertanyaan tersebut.

Dalam buku-buku teks pengantar filsafat ilmu, sering dikatakan bahwa teori atau kriteria kebenaran ada tiga, yaitu korespondensi, koherensi, dan pragmatis. Teori kebenaran korespondensi mengatakan bahwa suatu pernyataan dikatakan benar jika bersesuaian dengan kenyataan. Sebagai contoh, Serang adalah ibukota Propinsi Banten adalah pernyataan yang benar karena sesuai dengan kenyataan. Contoh-contoh lain tentu masih banyak.

Teori kebenaran Koheherensi menyatakan bahwa suatu pernyataan dikatakan benar jika pernyataan tersebut bersesuaian (koheren) dengan pernyataan lain yang telah diketahui atau disepakati kebenarannya. Cara menunjukkan kebenaran suatu pernyataan menurut teori keherensi adalah dengan penalaran deduksi. Hal ini karena pernyataan yang diketahui atau disepakati kebenarannya tersebut adalah pernyataan yang berlaku umum. Matematika, teologi, dan tata peradilan adalah bidang-bidang yang menggunakan teori kebenaran koherensi untuk menentukan kebenaran suatu pernyataan atau tindakan. Kitab Undang-Undang bagi tata peradilan memiliki kedudukan yang sama dengan aksioma dalam matematika dan kitab suci bagi teologi.

Teori kebenaran yang ketiga adalah teori pragmatis yang menyatakan bahwa suatu pernyataan dikatakan benar jika pernyataan atau akibat penyataan tersebut memiliki kegunaan praktis dalam kehidupan manusia. Pelopor teori ini adalah Charles S. Pierce yang berasal dari Amerika Serikat. Agama dalam pandangan kaum pragmatis bisa dikatakan benar karena membuat manusia lebih teratur dan taat aturan hukum.

Sumber tulisan
Suriasumantri, J. S. Filsafat Ilmu Suatu Pengantar Populer.
Russell, B. Berpikir Ala Filsuf (terjemahan).