Matematika

Dasar-Dasar Pengetahuan Deduktif

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on September 27, 2013

Kita sering mendengar dan membaca bahwa matematika adalah pengetahuan yang disusun berdasarkan penalaran deduktif. Bahkan menurut Bloch (2000: 56), Semua cabang-cabang matematika murni sampai saat ini disusun dalam sistem aksiomatik deduktif. Bekerja dalam sistem aksiomatik deduktif melibatkan konstruksi bukti secara ketat untuk menghasilkan pengetahuan matematika yang baru. Nah, sebetulnya seperti apa sistem aksiomatik deduktif tersebut dan teori apa yang mendasarinya?

Konsep pengetahuan deduktif menurut Aristoteles adalah suatu teori T yang terdiri atas himpunan pernyataan yang memenuhi postulat-postulat berikut:

  1. Setiap pernyataan dari T memuat unsur-unsur domain tertentu dari dunia nyata. (Postulat realitas).
  2. Setiap pernyataan dari T mempunyai nilai benar. (Postulat kebenaran)
  3. Apabila sejumlah pernyataan berada dalam T, maka setiap konsekuensi logika dari pernyataan-pernyataan tersebut harus berada dalam T juga. (Postulat deduktivitas)
  4. Sejumlah unsur dari T yang berhingga banyaknya mempunyai sifat berikut. a) arti unsur-unsur tersebut dapat langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita dan tidak perlu diterangkan lebih lanjut, a) setiap unsur dari T lainnya harus didefinisikan, yaitu harus dapat dikembalikan pada, dan dinyatakan dengan unsur-uunsur tersebut dalam pernyataan 4.a.
  5. Sejumlah pernyataan dari T yang berhingga banyaknya mempunyai sifat berikut; a) kebenaran pernyataan-pernyataan tersebut langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita dan tidak memerlukan bukti, b) kebenaran dari pernyataan T lainnya didasarkan atas dan diturunkan dari pernyataan-pernyataan dalam pernyataan 5.a dengan menggunakan inferensi logika.

Postulat 4.a dan 5.a  disebut postulat evidensi, sedangkan pernyataan-pernyataan dari unsur-unsur pokok pada 4 dan 5 bersama-sama disebut prinsip-prinsip dari pengetahuan T di atas. Adapun alat yang diperkenankan untuk digunakan dalam inferensi logika adalah logika formal semata.

Lahir dan berkembangnya suatu pengetahuan deduktif melalui beberapa tahap. Tahap pertama adalah pengumpulan sejumlah fakta melalui trial dan error. Tahap ini disebut pra-saintifik. Setelah terkumpul sejumlah fakta, maka diadakan pengorganisasian. Pada tahap ini dipilih, secara cermat, sejumlah unsur dan pernyataan pokok yang evident, yaitu arti dan kebenarannya langsung dapat ditangkap oleh pikiran kita. Pernyataan pokok dinamakan aksioma atau postulat (untuk sementara, aksioma dan postulat dianggap sama).

Makna teori di atas adalah, apabila orang hendak mendefinisikan suatu unsur, maka harus digunakan unsur-unsur lainnya yang sudah dikenal. Yang terakhir ini pun harus definisikan, dan agar tidak terjadi definisi yang berlingkar, harus digunakan unsur-unsur yang lainnya lagi. Namun, proses demikian tidak dapat dilaksanakan terus-menerus. Jika situasi ini hendak dihindari, pada suatu waktu orang harus berhenti mendefinisikan. Nah, di sinilah perlunya unsur pokok. Jadi, unsur pokok diperlukan agar kita tidak berputar-putar dalam mendefinisikan suatu unsur. Dalam geometri, unsur pokok tersebut di antaranya: titik, garis, dan bidang. Kita tidak perlu lagi bertanya apa definisi titik, garis, dan bidang. Contoh lain, kita bisa bertanya, apa definisi persamaan? Mungkin akan dijawab, persamaan adalah pernyataan terbuka yang memuat tanda “sama dengan”. Kemudian dilanjutkan, apa definisi kalimat terbuka? Mungkin akan dijawab, kalimat yang belum dipastikan benar atau salahnya. Sampai di sini kita tidak lagi perlu bertanya definisi kalimat, “sama dengan”, dan benar.

Situasi berkenaan dengan pernyataan-pernyataan  dari teori T adalah analog. Pada suatu waktu orang harus berhenti pada pernyataan-pernyataan yang tidak dibuktikan lagi. Namun, memang tidak diperlukan bukti karena evidensi kebenarannya dijamin oleh intuisi kita, baik intuisi geometri, intuisi aritmetika (Aksioma-Aksioma Peano), intuisi etika (Spinoza) dan lain-lain, jika pengetahuan yang bersangkutan dikemas dalam suatu teori semacam T. Beberapa contoh aksioma di antaranya: Aksioma Euclides tentang geometri, Aksioma lapangan bilangan real. dan Aksioma kelengkapan bilangan real.

Pengorganisasian dalam teori deduktif demikian, diperoleh insight akan interdependensi dari teorema-teorema teori T. Keuntungan lain dari prosedur deduktif suatu ilmu adalah jika kita meragukan kebenaran suatu teorema karena tidak sesuai dengan suatu pengalaman tertentu dalam dunia real, maka penelitian dapat dikembalikan pada aksioma-aksioma yang jumlahnya sedikit itu. Hal ini karena teorema tersebut diturunkan dari pernyataan-pernyataan pokok (aksioma-aksioma) dengan logika formal. Di sini terlihat pentingnya intuisi logika sebagai sumber penalaran dibandingkan intuisi jenis lain karena logika dapat digunakan di setiap teori T tanpa memperhatikan subject matter dari T.

Dengan latar belakang di atas, 25 tahun setelah Aristoteles, Euclides membangun geometri sebagai pengetahuan deduktif tentang ruang di mana kita hidup. Pernyataan-pernyataan pokoknya, yang disebut aksioma dan postulat dipilih dengan cermat dan menyajikan sifat-sifat paling sederhana dari unsur-unsur dari ruangan yang langsung dapat ditangkap oleh pikiran. Dengan kata lain, aksioma-aksioma Euclides dimaksud sebagai self evident truth. Demikian juga teorema-teoremanya dimaksud sebagai pernyataan-pernyataan yang benar tentang unsur-unsur dari dunia nyata. Segala sesuatu sesuai dengan postulat realitas, postulat kebenaran, dan lain-lain postulat dari teori sain deduktif yang diciptakan oleh Aristoteles.

Seperti diketahui oleh matematikawan, dalam perkembangan aksiomatika selanjutnya, unsur-unsur primitif dikosongkan dari arti sehingga aksioma-aksiomanya bukan lagi merupakan self evident truth, melainkan berubah menjadi kesepakatan belaka. Dengan cara demikian didapat teori-teori aljabar abstrak, topologi, dan lain-lain.

Uraian tentang syarat-syarat sebuah pernyataan dijadikan aksioma, akan disajikan pada tulisan berikutnya.

Disarikan dari Tulisan Soehakso, 1998. Kedudukan logika pada bangunan ilmu matematika dan sains serta peranannya dalam riset dan dalam pendidikan. Dalam Sumaji, dkk. Pendidikan Sains yang Humanistis.

Bloch, E.D. (2000). Proofs and Fundamentals A First Course in Abstract Mathematics. Boston: Birkhauser.

Iklan
Tagged with: , ,

Bilangan Prima

Posted in Pembelajaran Matematika Sekolah, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on September 26, 2013

Kalian pasti sudah mengenal bilangan Prima (Prime Number). Bilangan prima adalah bilangan Asli yang hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Contoh 2, 3, 5, dan seterusnya. Bilangan 1 bukan bilangan Prima karena hanya mempunyai satu faktor. Bilangan yang bukan 1 dan bukan bilangan Prima disebut bilangan komposit. Salah satu dalil yang terkenal berbunyi, Setiap bilangan komposit merupakan perkalian bilangan-bilangan Prima. Dalil tersebut dikenal sebagai Teorema Dasar Aritmetika. Nah, berapa banyak bilangan Prima yang kalian tahu?

Eratosthenes mempunyai suatu metode untuk mendapatkan bilangan prima pada rentang tertentu. Metode itu diberi nama saringan Eratosthenes (Eratosthenes Sieve). Misalkan kita akan mencari bilangan Prima yang kurang dari n, dengan n bilangan Asli, maka modal kita adalah bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{n} . Sebagai contoh, kita akan mencari bilangan Prima di antara 1 dan100. Kita tahu bahwa \sqrt{100}=10 , dan bilangan Prima yang kurang dari 10 adalah 2, 3, 5, dan 7. Selanjutnya kita daftarkan bilangan 1 sampai 100 dalam tabel 10 x 10. Kemudian lakukan langkah berikut:

  • Coret angka 1
  • Coret semua bilangan kelipatan 2, kecuali 2
  • Coret semua bilangan kelipatan 3, kecuali 3. Pada langkah ini, bilangan yang sudah dicoret tidak perlu dicoret lagi.
  • Coret semua bilangan kelipatan 5, kecuali 5.
  • Coret semua bilangan kelipatan 7, kecuali 7. Pada langkah ini bilangan yang dicoret hanya 49, 77, dan 91.

Cukup sampai 7, karena Prima terbesar yang kurang dari \sqrt{100} adalah 7. Bilangan yang tidak tercoret merupakan bilangan Prima. Sampai di sini kita dapatkan bilangan Prima yang terletak di antara 1 dan 100, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, dan 97. Ada 25 bilangan prima antara 1 dan 100. Kalian bisa mempercepat proses itu dengan bantuan excel. Lihat caranya pada bagian bawah.

Secara umum, jika kita akan mencari bilangan Prima dari 1 sampai bilangan n, maka kita cari dulu bilangan prima yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{n} . Setelah itu lakukan langkah-langkah pencoretan bilangan seperti di atas sampai pada bilangan prima yang kurang dari \sqrt{n} tersebut. Pada contoh di atas \sqrt{100}=10 , dan bilangan prima yang kurang dari atau sama 10 adalah 7. Jadi, pencoretan bilangan dari 1 sampai 100 berhenti di kelipatan bilangan 7. Anda bisa mencoba untuk bilangan Prima yang kurang dari 200.

Sejak dulu banyak matematikawan yang berusaha membuat rumus untuk mencari bilangan Prima. Pada kasus tertentu rumus itu benar, tetapi pada kasus yang lain ternyata salah. Oleh karena itu, sampai saat ini belum ada rumus yang dalam waktu singkat dapat menentukan bilangan Prima. Meskipun demikian, kita tentu kagum dengan upaya para matematikawan tersebut karena pencarian itu membawa mereka belajar banyak hal.
Beberapa rumus yang menghasilkan bilangan Prima untuk beberapa kasus adalah sebagai berikut:

  • F(n) = n^2-n+41 untuk n bilangan Asli. Rumus ini menghasilkan bilangan Prima untuk n=1,2,,3,dst, tetapi untuk n=41 rumus tersebut gagal karena menghasilkan 412 yang jelas bukan merupakan bilangan Prima.
  • F(n)=2^{2^n}+1 untuk n bilangan Asli. Rumus ini diciptakan oleh Fermat, seorang Matematikawan dari Perancis. Rumus tersebut memberikan bilangan Prima untuk n=0,1,2,3,dan 4 , tetapi gagal untuk n=5 dan n=6.
  • F(p)=2^p-1 dengan p bilangan Prima yang telah diketahui. Rumus ini diciptakan oleh Marsenne. Untuk beberapa nilai p rumus tersebut menghasilkan bilangan Prima, tetapi untuk p=11 rumus tersebut menghasilkan bilangan komposit (bukan Prima).

Jadi, sampai saat ini cara yang meyakinkan adalah menggunakan saringan Eratosthenes.

Ada berapa banyak bilangan Prima? Euclides dari Yunani membuktikan bahwa ada tak hingga banyak bilangan Prima. Meskipun demikian, para ahli matematika sepanjang masa berusaha mencari terus bilangan Prima yang lebih besar dari yang diketahui saat ini. Pencarian bilangan Prima merupakan salah satu pekerjaan yang menyenangkan bagi beberapa pakar matematika dan komputer. Pencarian ini seperti mendaki Puncak Everest, kata George Woltman, seorang pakar ilmu komputer. Bedanya, Everest memilik puncak sehingga pendakian suatu saat berhenti, sedangkan bilangan Prima tidak akan tidak akan terhenti karena memang tidak ada bilangan Prima terbesar. Artinya, jika sekarang ditemukan bilangan Prima lebih dari bilangan prima yang telah diketahui, maka kelak pasti akan ditemukan lagi bilangan Prima yang lebih besar.

Harian Kompas tanggal 6 Februari 2013 memberitakan penemuan bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia saat ini. Bilangan Prima tersebut adalah 2^{57.885.161}-1 . Ini merupakan bilangan Prima yang masuk kelompok bilangan Prima Marsenne, yaitu bilangan Prima yang berbentuk 2^p-1 . Bilangan Prima tersebut memiliki 17.425.170 digit (angka). Kita bisa bayangkan betapa panjangnya bilangan tersebut jika ditulis di kertas. Jika menggunakan ukuran huruf seperti pada tulisan di buku ini, maka bilangan Prima tersebut panjangnya sekitar 34,85 km.

Bilangan prima terbesar ini ditemukan oleh matematikawan dari University of Central Missouri, Curtis Cooper. Bilangan prima ini adalah bilangan prima besar ketiga yang berhasil ditemukan oleh Cooper. Penemuan bilangan prima terbesar dilakukan lewat upaya kolektif lewat Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), misi yang dibantu 360.000 prosesor, mengoperasikan 150 triliun penghitungan per detik. Proses pengecekan lewat komputer dilakukan untuk mengonfirmasi penemuan. Atas penemuannya tersebut Curtis Cooper memperoleh hadiah $ 3000. Bilangan Prima bentuk Marsenne dapat dilihat di http://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_prima_Mersenne
Sebelumnya bilangan Prima terbesar yang diketahui manusia adalah 2^{43.112.609}-1 yang ditemukan pada tahun 2008. Bilangan ini memiliki 12.978.189 digit. Proses menemukan bilangan Prima tersebut dapat dilakukan dengan cara Saringan Eratosthenes. Namun, butuh waktu bertahun-tahun untuk mendapatkan bilangan Prima berikutnya. Barangkali tidak akan selesai seumur hidup manusia. Oleh karena itu, komputer canggih dengan kecepatan luar biasa diperbantukan untuk mencari bilangan Prima tersebut. Ini pun membutuhkan komputer dalam jumlah yang banyak.

 
Fakta lain yang menarik dari bilangan Prima adalah bilangan Prima kembar (Twin Prime Numbers), yaitu dua bilangan Prima yang berurutan. Sebagai contoh (2,3), (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (18383549,18383551) dan seterusnya. Pertanyaannya adalah: Apakah pasangan bilangan Prima kembar tersebut ada berhingga buah atau ada tak hingga buah? Sampai saat ini belum ada matematikawan yang berhasil menjawab pertanyaan tersebut.

 
Nah, jika kalian berminat mencari bilangan Prima yang cukup besar, kita bisa manfaatkan Microsoft Excel dengan modal bilangan Prima yang sudah kita tahu dari saringan Eratosthenes, yaitu 2, 3, … ,97. Cara yang akan kita gunakan pun menggunakan saringan Eratosthenes. Dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 100 tersebut, kita bisa mencari semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Mengapa bisa begitu? Ingat untuk mencari bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita harus mempunyai bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan \sqrt{n} . Jad, jika kita mempunyai semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n, maka kita bisa mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari atau sama dengan n^2 .

 
Untuk keperluan tersebut, kita pelajari dulu operasi MOD. Mod adalah operasi Aritmetika untuk mencari sisa hasil bagi dari dua buah bilangan. Misalnya, 16 Mod 3 = 1 karena 16 dibagi 3 (hasilnya 5) sisanya 1. Jadi, 15 mod 3 = 0 (dengan kata lain 15 habis dibagi 3 atau 3 adalah faktor dari 15), 23 mod 4 = 3 (dengan kata lain 23 tidak habis dibagi 3 atau 3 bukan faktor dari 23).

 
Konsep yang harus dipahami untuk mencari bilangan Prima yang lebih dari 100 dan kurang dari atau sama dengan 10.000 adalah: Jika bilangan tersebut habis dibagi 2, 3, … ,97, maka bilangan tersebut BUKAN bilangan Prima. Misalnya kita akan memeriksa apakah 101 bilangan Prima atau bukan, maka harus dicek 101 mod 2, 101 mod 3, 101 mod 5, …, 101 mod 11. Jika hasil salah satu operasi di atas sama dengan nol, maka 101 bukan bilangan Prima (komposit). Sebaliknya, jika hasil semua operasi di atas tidak sama dengan nol (≠0), maka 101 adalah bilangan Prima.
Langkah pertama adalah menuliskan bilangan ganjil dari 101 sampai 10.000 pada kolom A (Ingat bilangan Prima yang kurang dari 100 sudah kita tahu). Pada sel B1 ketik:
=IF(OR(MOD(A101;2)=0;MOD(A101;3)=0;MOD(A101;5)=0;MOD(A101;7)=0;MOD(A101;11)=0;MOD(A101;13)=0;MOD(A101;17)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;23)=0;MOD(A101;19)=0;MOD(A101;31)=0;MOD(A101;37)=0;MOD(A101;41)=0;MOD(A101;43)=0;MOD(A101;47)=0;MOD(A101;51)=0;MOD(A101;53)=0;MOD(A101;59)=0;MOD(A101;61)=0;MOD(A101;67)=0;MOD(A101;71)=0;MOD(A101;73)=0;MOD(A101;79)=0;MOD(A101;83)=0;MOD(A101;89)=0;MOD(A101;91)=0;MOD(A101;91)=0;);”—“;”Bil. Prima”)
Copy sel B1 pada B2, B3, dan seterusnya. Maka kita mendapatkan semua bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Ada 1207 bilangan Prima yang didapat. Jika digabung dengan hasil sebelumnya (bilangan Prima yang kurang dari 100) maka kita memperoleh 1232 bilangan Prima.

Perintah OR dalam Excel adalah memilih salah satu atau semuanya. Sintak perintahnya adalah =OR(pilihan_1;pilihan_2,…,pilihan_k). Perintah MOD dalam Excel adalah untuk mencari sisa pembagian suatu bilangan. Sintak perintahnya adalah =MOD(bilangan yang dibagi;bilangan pembagi). Contoh =MOD(14;5) akan menghasilkan 4.
Dengan hasil tersebut kita juga bisa mendapatkan bilangan Prima kembar. Jika kalian tertarik, maka pencarian berikutnya adalah bilangan Prima yang kurang dari 100.000.000 dengan modal bilangan Prima yang kurang dari 10.000. Tentu membutuhkan waktu yang lama untuk mengetik perintah di Excel. Dengan melakukan peekrjaan tersebut, kalian sudah menyerupai pekerjaan Curtis Cooper.
Dengan cara yang sama, kita bisa memeriksa pada n atau p berapa rumus-rumus F(n) = n^2-n+41 , F(n)=2^{2^n}+1, dan F(p)=2^p-1 menghasilkan bilangan Prima dan bukan bilangan Prima.
Untuk apa matematikawan mencari bilangan Prima yang sangat besar? Sebenarnya itu merupakan salah satu kesenangan. Namun di balik itu, bilangan Prima yang besar digunakan untuk membuat sandi. Gagasannya sederhana, jika kita mempunyai dua bilangan Prima, maka mudah bagi kita untuk mengalikannya. Tetapi jika kita mempunyai bilangan komposit (hasil perkalian sejumlah bilangan Prima yang besar), maka sangat sulit bagi siapa pun untuk memfaktorkannya. Sandi diperlukan jika kita akan mengirim suatu pesan, tetapi pesan itu tidak ingin diketahui oleh pihak musuh. Untuk memahami hal tersebut, silakan download di http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2008/01/matematika-persandian.pdf.

Tagged with:

Kuantor

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on November 9, 2012

Pada dasarnya semua pernyataan Matematis memuat kuantor, hanya ada yang ditulis secara eksplisit dan ada yang tidak ditulis. Sebagai contoh, Pernyataan “Jika x,y \in R dengan x.y >0 , maka \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 “, kuantor dalam pernyataan ini tidak ditulis secara eksplisit. Pernyataan lengkapnya adalah Untuk setiap x,y \in R , jika  x.y >0 , maka \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 . Pernyataan tersebut memuat kuantor, yaitu ada kata untuk setiap.

Ada dua kuantor dalam pernyataan matematika, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial. Kuantor universal ditandai dengan kata “untuk setiap” atau “untuk semua” dengan lambang   \forall . Kuantor eksistensial ditandai dengan kata “terdapat” atau “ada” dengan lambang   \exists . Kuantor akan ditulis dalam pernyataan jika memuat kuantor universal dan kuantor eksistensial. Biasanya sih, jika pernyataan memuat kuantor eksistensial, maka pasti memuat kuantor universal, sehingga kedua kuantor ditulis dalam pernyataan. Contohnya, \forall x \in R , \exists y \in R sedemikian sehingga x+y=0 . Contoh kedua, \exists y \in R , sedemikian sehingga x+y=y, \forall x \in R .

Nah, kita harus bisa membedakan cara penulisan kuantor universal dan kuantor eksistensial dalam sebuah pernyataan. Pada contoh pertama di paragraf kedua, kuantor universal ditulis terlebih dahulu kemudian diikuti kuantor eksistensial. Ini berarti y berbeda-beda bergantung pada x yang diberikan. Pada contoh kedua, kuantor eksistensial ditulis terlebih dahulu, sedangkan kuantor universal ditulis pada akhir pernyataan. Ini berarti hanya ada satu y untuk semua x .

Kadang-kadang kita temukan kata “tidak ada” dalam suatu pernyataan Matematis, pada hal “tidak ada” bukan kuantor. Nah, sebaiknya kita mengganti kata tidak ada tersebut dengan kuantor untuk setiap atau terdapat. Misalnya pada pernyataan, “tidak ada x \in R sehingga x^2+1=0 “. Pernyataan seperti itu sering juga ditulis dengan cara, “Persamaan x^2+1=0 tidak mempunyai solusi di R “. Nah, supaya penulisannya benar  dan mengandung kuantor, maka kita menulisnya dengan cara seperti ini, ” \forall x \in R, x^2+1 \neq 0 “.

Paradoks Russell

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on November 2, 2012

Alkisah, hiduplah seorang tukang cukur di suatu kampung. Tukang cukur itu bernadzar, ” Saya akan mencukur semua orang di kampung ini yang tidak mencukur rambutnya sendiri”. Kemudian ia melaksanakan nadzarnya dengan mencukur semua orang yang tinggal di kampungnya tersebut. Ini tidak menimbulkan masalah, karena jika penduduk kampung itu mencukur rambutnya sendiri, maka tukang cukur itu tidak perlu mencukur rambut penduduk tersebut, tetapi jika seorang penduduk tidak mencukur rambutnya sendiri, maka tukang cukur itu yang akan mencukurkan rambutnya.

Masalah muncul ketika tukang cukur tersebut ingat bahwa dirinya juga adalah warga kampung itu, sehingga ia harus mencukur rambutnya sendiri. Tetapi, sesuai dengan nadzarnya, jika ia mencukur rambutnya sendiri, maka ia tidak boleh mencukur rambutnya dan jika ia tidak mencukur rambutnya, maka ia harus mencukur rambutnya sendiri. Nah, bingung kan apa yang harus dilakukan oleh tukang cukur tersebut?

Kisah di atas dikenal dengan paradoks Russell. Nama lengkapnya Bertrand Russell, seorang matematikawan, filsuf, dan pendiri filsafat analitik. Dalam konteks matematika, kisah tukang cukur di atas dapat digambarkan sebagai berikut: Misalkan kita mendefinisikan A adalah himpunan hewan berkaki empat, maka anggota-anggota A adalah kambing, sapi, jerapah, onta, dan lain-lain. Himpunan A sendiri jelas bukan hewan berkaki empat, sehingga A bukan anggota A. Jika kita definisikan himpunan M dengan syarat keanggotaan semua hal yang dipikirkan manusia, maka anggotanya beragam, termasuk M sendiri adalah anggota M karena M juga merupakan hal yang dipikirkan manusia. Dengan demikian, ada himpunan yang dirinya bukan anggota himpunan, seperti himpunan A di atas, dan ada juga himpunan yang dirinya sendiri menjadi anggota himpunan tersebut, seperti himpunan M tadi.

Selanjutnya, definisikan M sebagai kumpulan semua himpunan yang tidak memuat dirinya sebagai anggota. Nah, kontradiksi akan muncul di sini terkait dengan keanggotaan M dalam himpunan M. Jika M tidak memuat M sebagai anggota, maka M adalah anggota dari M, tetapi jika M anggota dari M, maka M harus dikeluarkan dari M berdasarkan syarat keanggotaan M. Ini berarti M \in M jika dan hanya jika M \notin M . Ini merupakan suatu kontradiksi yang menyesakkan.

Paradoks di atas bermulanya dari usaha Frege, Whitehead, Russell, dan teman-temannya untuk menjawab pertanyaan tentang apa sih hakikat matematika (fondasi matematika). Matematika telah berkembang pesat dan banyak cabang-cabang baru. Pertanyaannya adalah, apa yang menyatukan cabang-cabang tersebut? Russell, dkk. mengajukan LOGIKA-lah yang menyatukan cabang-cabang itu. Dengan kata lain, setiap pernyataan matematika dapat dipandang sebagai pernyataan LOGIKA yang dapat dinilai benar atau salah. Aliran ini dalam fondasi matematika disebut logisisme. Paradoks di atas menggagalkan usaha tersebut. Logika memang diperlukan dalam matematika, tetapi mereduksi matematika menjadi hanya sekedar logika menimbulkan kontradiksi seperti telah diceritakan di atas. Dengan demikian proyek logisisme gagal total.

Sekarang kembali kepada kisah tukang cukur. Tidak diceritakan sampai kapan tukang cukur itu bingung dan apa keputusan yang diambil. Pertanyaannya adalah, bagaimana kelaur dari kontradiksi seperti itu? Jelas logika tidak mampu menjawab. Nah, saya punya solusi untuk masalah tukang cukur di atas berdasarkan ajaran Agama Islam. Dia bernadzar seperti yang telah di sebutkan di atas, dan kemudian menimbulkan kebingungan tersendiri. Oleh karena itu, untuk keluar dari kebingungan tersebut, dia bisa membatalkan nadzarnya dengan puasa 3 hari menurut ajaran Agama Islam. Jadi, dia ga perlu bingungkan? (hehe, paragraf ini hanya becanda aja, tp untuk membatalkan nadzar cukup puasa 3 hari memang ajaran Islam).

Makna Eksistensi

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Oktober 29, 2012

Suatu hari ada seorang bertamu di sebuah rumah. Setelah mengetuk pintu dan mengucapkan salam, keluarlah seorang anak kecil. Kemudian tamu itu bertanya, “Bapaknya ada?”. Anak itu menjawab, “tidak ada Pak”. Tentu saja yang dimaksud tidak ada oleh anak kecil tersebut adalah tidak ada di dalam rumah. Hal ini pun dimengerti oleh sang tamu. Tetapi jika ruangnya diperluas, misalnya di Indonesia (bukan di dalam rumah), mungkin jawabannya ada, jika bapaknya tidak sedang dinas di luar negara. Dengan demikian, ada atau tidak adanya objek sangat bergantung pada ruang pembicaraan.

Mirip dengan hal di atas, dalam matematika solusi suatu persamaan atau pertidaksamaan juga bergantung pada himpunan semesta di mana persamaan atau persamaan tersebut berada. Sayangnya ini sering dilupakan oleh guru sekolah ketika mencari solusi persamaan atau pertidaksamaan. Sebagai contoh, persamaan x^2-2=0 tidak mempunyai solusi di himpunan bilangan rasional, tetapi mempunyai solusi jika ruang pembicaraan atau himpunan semesta diperluas menjadi himpunan bilangan real. Demikian pula persamaan x^2+1=0 tidak mempunyai solusi di himpunan bilangan real, tetapi mempunyai solusi di himpunan bilangan kompleks. Jadi, ada atau tidak adanya solusi sekali lagi bergantung pada semesta pembicaraan atau dalam hal ini ruang di mana persamaan atau pertidaksamaan berada.

Berdasarkan beberapa contoh di atas mungkin kita harus mendefinisikan apa yang dimaksud dengan ada. Hal ini penting karena ternyata makna ada berbeda-beda untuk setiap bidang keilmuan. Kaum positivis dan banyak ilmuwan menganggap suatu objek ada jika bisa tangkap oleh panca indera baik langsung maupun menggunakan instrumen tertentu. Berdasarkan hal tersebut banyak ilmuwan yang kemudian mengatakan bahwa Tuhan tidak ada. Hal ini bisa dipahami karena mereka tidak mampu membuat instrumen untuk mendeteksi keberadaan Tuhan. Stephen Hawking misalnya, menganggap bahwa Tuhan tidak ada dan tidak diperlukan untuk menjelaskan alam semesta. Alam semesta mampu menjelaskan dirinya sendiri tanpa perlu mempostulasikan adanya Tuhan.

Sebagai penutup, saya paparkan ilustrasi dari Sir Arthur Eddington tentang pekerjaan ilmuwan. Ilustrasinya kira-kira demikian: Seorang ilmuwan melakukan penelitian untuk mengetahui jenis makhluk hidup (atau persisnya ikan) yang ada di dasar lautan. Untuk keperluan tersebut dibuatlah jaring (sebagai instrumen penelitian). Namun jaring yang bisa dibuat ukuran lubangnya hanya 1 cm x 1 cm. Dengan jaring tersebut tentu saja ikan yang berhasil ditangkap adalah ikan yang panjang tubuhnya lebih dari 1 cm. Berdasarkan hal tersebut, sang ilmuwan menyimpulkan bahwa di dasar laut tidak ada ikan yang panjangnya kurang dari 1 cm. Tentu saja bukan ikan yang panjangnya kurang dari 1 cm yang tidak ada, tetapi jaring yang dibuat tidak mampu menangkap ikan dengan ukuran seperti itu. Tetapi ilmuwan tersebut boleh hanya mambicarakan ikan yang panjangnya lebih dari 1 cm saja, karena memang itu yang berhasil ditangkap.

Tagged with: , ,