Matematika

Masalah Warisan

Posted in Uncategorized by Anwar Mutaqin on Januari 27, 2015

Pada tulisan di Harian Kompas, Pak Liek Wilardjo mengeluhkan lemahnya penguasaan logika di kalangan siswa, bahkan mahasiswa S3. Salah satu buktinya, Paul Suparno mengajukan pertanyaan logika di hadapan mahasiswa S3, dan mereka kesulitan menjawab soal ini

Seorang ayah mewariskan 17 ekor unta kepada ketiga anaknya dengan ketentuan bahwa tidak boleh ada unta yang dijual atau disembelih. Anak sulungnya mendapatkan separuh, anak kedua mendapatkan sepertiga, dan anak bungsunya sepersembilan. Karena amanah itu tak dapat dipenuhi, paman ketiga bersaudara itu membantu mereka dengan memberikan seekor untanya. Maka, si sulung menerima sembilan ekor unta, adiknya enam ekor, dan si bungsu kebagian dua ekor. Seekor lagi dikembalikan kepada paman mereka. Pertanyaannya, (1) tinjaulah soal ini secara logika, dan (2) benarkah kalau dikatakan bahwa “realitas ialah unta yang ke-18”?

Saya tidak tahu cara menjawab pertanyaan logika tersebut. Saya mendapatkan cerita semacam itu ketika sekolah di SMA, bahkan jadi bahan candaan di antara teman-teman. Hanya pertanyaan yang diajukan adalah bagaimana cara membagi warisan tersebut. Kami memang tidak bisa menjelaskan mengapa solusinya bisa seperti yang disebutkan, hanya kagum dengan cara penyelesaian masalah warisan tersebut.

Saya merasa masalah yang diajukan Pak Liek Wilardjo mirip dengan Paradoks Zeno, pelik secara logika namun mudah jika kita gunakan konsep Matematika. Seperti halnya Paradoks Zeno, masalah pembagian warisan di atas dapat diselesaikan dengan konsep deret geometri. Pertama, Anak sulung mendapat \frac{1}{2} bagian, anak kedua mendapat \frac{1}{3} bagian, dan anak bungsu mendapat \frac{1}{9} bagian. Dari pembagian ini, kita dapatkan total \frac{17}{18} , artinya masih tersisa \frac{1}{18} . Bagian \frac{1}{18} ini dibagikan lagi kepada seluruh anak dengan proporsi sesuai wasiat. Maka masing-masing anak mendapat tambahan \frac{1}{36} , \frac{1}{54} , dan \frac{1}{162} . Pembagian tahap kedua tersebut menyisakan \frac{1}{324} bagian. Jika pembagian ini dilakukan terus menerus, maka:

Anak sulung mendapat \frac{1}{2} + \frac{1}{2}. \frac{1}{18} + \frac{1}{2}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak kedua mendapat \frac{1}{3} + \frac{1}{3}. \frac{1}{18} + \frac{1}{3}. \frac{1}{324} + \cdots

Anak bungsu mendapat \frac{1}{9} + \frac{1}{9}. \frac{1}{18} + \frac{1}{9}. \frac{1}{324} + \cdots

masing-masing anak membentuk deret geometri tak terhingga dengan rasio r=\frac{1}{18} , dengan suku pertama (a ) masing-masing \frac{1}{2} , \frac{1}{3} , dan \frac{1}{9} . Dengan rumus deret geometri seperti yang telah dipelajari anak SMA atau sederajat di kelas 3, yaitu

S=\frac{a}{1-r} ,

maka bagian masing-masing anak adalah

  1. Anak pertama S_1=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{18}}=\frac{9}{17} ,
  2. Anak kedua S_2=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{18}}=\frac{6}{17} , dan
  3. Anak ketiga S_3=\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{18}}=\frac{2}{17} .

Dengan demikian, jatah unta masing-masing anak-anak adalah 9, 6, dan 2 ekor. Sama persis dengan pembagian telah dilakukan.

Jadi pertanyaan kedua dari PakĀ Liek Wilardjo bisa kita jawab (dengan cara orang awam) bahwa unta ke -18 tidak ada, atau dengan kata lain tidak perlu pinjam satu unta untuk membagi warisan tersebut.

Tagged with: , ,

Paradoks Pembohong

Posted in Uncategorized, Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 18, 2010

Kali ini saya ingin menulis tentang nilai kebenaran pernyataan terkenal yang diucapkan oleh Epimenides. Saya memberi judul Paradoks pembohong karena menurut beberapa tulisan yang pernah saya baca, pernyataan Epimenides tidak bisa dinilai kebenarannya. Artinya jika dinilai benar atau salah, maka dua-duanya mengandung kontradiksi.

Epimenides berasal dari Kreta (salah satu pulau di Yunani). Epimenides berkata,”Semua orang Kreta pembohong”. Muncul pertanyaan, apakah EpimenidesĀ  mengatakan yang sebenarnya (jujur)? Jika kita jawab ya, maka artinya semua orang Kreta pembohong. Padahal, Epimenides (yang membuat pernyataan tadi) berasal dari Kreta. Ini berarti Epimenides juga seorang pembohong, sehingga pernyataannya tidak bisa dipercaya. Hal ini berarti kontradiksi.

Sebaliknya, jika kita menjawab tidak, maka orang Kreta jujur (tidak bohong). Padahal barusan Epimenides, yang berasal dari Kreta telah berbohong. Hal ini juga merupakan kontradiksi. Demikian penjelasan dari beberapa artikel dan buku yang pernah saya baca, hanya saya tidak bisa menyebutkan judul dan penulisnya karena sudah lama sekali bacanya.

Perhatikan kembali jawaban tidak atas pernyataan Epimenides di atas. Hal ini berarti pernyataan “Semua orang Kreta pembohong” salah, sehingga yang benar adalah kebalikannya (negasi). Kebalikan dari pernyataan Epimenides tersebut adalah “Ada orang Kreta yang jujur (bukan pembohong)”, bukan “semua orang Kreta jujur”. Orang Kreta yang jujur tersebut pastilah bukan Epimenides karena dengan membuat pernyataan di atas, dia telah berbohong.

Dengan demikian sebenarnya pernyataan tersebut jika dijawab tidak, maka tidak ada kontradisksi di dalamnya.

 

 

Tagged with: , ,

Paradoks Zeno

Posted in Wawasan Matematika by Anwar Mutaqin on Maret 1, 2010

Paradoks adalah suatu istilah yang mengacu kepada suatu pernyataan yang secara logika terlihat benar tetapi salah dalam realitasnya. Salah satu paradoks yang terkenal dalam filsafat atau matematika adalah pernyataan yang dikemukaan oleh Zeno dari Elea, yang kemudian dikenal sebagai paradokz Zeno. Ada empat versi paradoks Zeno, tetapi dalam tulisan ini hanya akan diambil salah satu versi, yaitu

Achilles yang terkenal dapat berlari cepat berlomba lari dengan kura-kura yang tidak dapat berlari cepat. Mereka menuju ke arah yang sama sedangkan kura-kura sedikit di depan Achilles. Betapa pun cepat Achilles berlari, mula-mula ia harus mencapai dulu tempat kura-kura itu beranjak. Namun pada saat itu kura-kura telah maju beberapa jarak ke depan. Kemudian Achilles harus menempuh jarak lagi ke tempat kura-kura itu namun pada saat itu kura-kura sudah maju lagi. Demikianlah terus-menerus, Achilles hanya akan selalu mendekati kura-kura itu. Kesimpulan: Achilles tidak mungkin menyusul kura-kura itu. (dikutip dari buku Berhitung sejarah dan pengembangannya, Dali S. Naga)

Sepintas terkesan bahwa pernyataan tersebut benar, akan tetapi dalam kenyataannya kita selalu dapat mengejar anak-anak yang berlari di depan kita, bis dapat menyalib sepeda motor, dan sebagainya. Hal ini yang mengakibatkan pernyataan tersebut dikatakan paradoks.

Paradoks di atas merupakan cara yang digunakan oleh Zeno untuk mengungkapkan ketidaksetujuannya dengan suatu pengertian yang diungkapkan oleh para pemikir sezamannya (Dali S. Naga).

Kita yang sudah belajar tentang deret bilangan tentu dengan mudah bisa menunjukkan kesalahan dalam paradoks Zeno tersebut. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut. Misalkan kecepatan lari Achilles adalah 10 m/s, sedangkan kecepatan lari kura-kura adalah 1 m/s dan kura-kura berada pada jarak 10 m di depan Achilles. Menurut paradoks di atas, pada saat Achilles berlari sejauh 10 m, maka kura-kura sudah berada didepannya sejauh 1 m. Pada saat Achilles berlari sejauh 1 m, kura-kura sudah berada di depannya sejauh \frac{1}{10} m, dan seterusya, sehingga Achilles tidak pernah dapat menangkap kura-kura tersebut.

Untuk menunjukkan bahwa pernyataan di atas salah, perhatikan bahwa jarak yang diharus ditempuh oleh Achilles untuk menangkap kura-kura adalah (10+1+ \frac{1}{10}+ \frac{1}{100}+ \cdots) m. Dengan menjumlahkan deret tersebut, kita dapatkan jarak yang harus ditempuh Achilles untuk menangkap kura-kura adalah 11 \frac{1}{9} m. Di sini terlihat jelas bahwa sebenarnya Achilles dapat menangkap kura-kura tersebut.

Tagged with: , ,